《和指对幂有关的零点个数问题》和指对幂有关的零点个数问题

1单选题

函数f(x)=2$^x$+x-2在区间(0，1)内的零点个数是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

根据函数f(x)=2$^x$+x-2在区间(0，1)内单调递增，f(0)f(1)＜0，可得函数在区间(0，1)内有唯一的零点

解答：

解：由于函数f(x)=$2^x$+x-2在区间(0，1)内单调递增，又f(0)=-1＜0，f(1)=1＞0，所以f(0)f(1)＜0，故函数f(x)=2$^x$+x-2在区间(0，1)内有唯一的零点，故选B．

点评：

本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于中档题．

2填空题

函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}x-2， x≤0 \ 2x-6+lnx， x＞0 \ \end{matrix}\right.$的零点个数是．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论．

解答：

解：当x≤0时，由f(x)=0得x-2=0，解得x=-$\sqrt {2}$或x=$\sqrt {2}$(舍去)，

当x＞0时，由f(x)=0得2x-6+lnx=0，即lnx=6-2x，

作出函数y=lnx和y=6-2x在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个零点，

故函数f(x)的零点个数为2，

故答案为：2

点评：

本题主要考查函数零点个数的判断，对于比较好求的函数，直接解方程f(x)=0即可，对于比较复杂的函数，由利用数形结合进行求解．

3单选题

函数f(x)=㏑x的图象与函数g(x)=x-4x+4的图象的交点个数为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

在同一个坐标系中，画出函数f(x)=lnx 与函数g(x)=x-4x+4=(x-2)_ 的图象，数形结合可得结论．

解答：

解：在同一个坐标系中，画出函数f(x)=lnx 与函数g(x)=x-4x+4=(x-2)_ 的图象，如图所示：

故函数f(x)=lnx的图象与函数g(x)=x-4x+4的图象

的交点个数为2，

故选C．

点评：

本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．

4单选题

函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x-4x+5的图象的交点个数为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x-4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．

解答：

解：在同一坐标系下，画出函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x-4x+5的图象如图：

由图可知，两个函数图象共有2个交点

故选B．

点评：

求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案．

5单选题

函数f(x)=x-($\frac {1}{2}$)_的零点个数为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数f(x)为单调增函数，而f(0)＜0，f($\frac {1}{2}$)＞0

由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点

解答：

解：函数f(x)的定义域为[0，+∞)

∵y=x_在定义域上为增函数，y=-($\frac {1}{2}$)_在定义域上为增函数

∴函数f(x)=x-($\frac {1}{2}$)_在定义域上为增函数

而f(0)=-1＜0，f(1)=$\frac {1}{2}$＞0

故函数f(x)=x-($\frac {1}{2}$)_的零点个数为1个

故选B

点评：

本题主要考查了函数零点的判断方法，零点存在性定理的意义和运用，函数单调性的判断和意义，属基础题

6单选题

函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y$_1$=|x-2|，y$_2$=lnx(x＞0)的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数．

解答：

解：由题意，函数f(x)的定义域为(0，+∞)；

由函数零点的定义，f(x)在(0，+∞)内的零点即是方程|x-2|-lnx=0的根．

令y$_1$=|x-2|，y$_2$=lnx(x＞0)，在一个坐标系中画出两个函数的图象：

由图得，两个函数图象有两个交点，

故方程有两个根，即对应函数有两个零点．

故选C．

点评：

本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数．

7单选题

函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}lnx-x+2x(x＞0) \ x-2x-3(x≤0) \ \end{matrix}\right.$的零点个数为（　　）

1个

2个

3个

4个

题目答案

答案解析

分析：

分段函数的零点要讨论，对第一部分要作图．

解答：

解：①x≤0时，

f(x)=x-2x-3=(x-1)_-4=0，

解得，x=-1或x=3(舍去)．

②x＞0时，

由y=lnx与y=x-2x的图象可知，

其有(0，+∞)上有两个交点，

故f(x)=0有两个解；

则函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}lnx-x+2x(x＞0) \ x-2x-3(x≤0) \ \end{matrix}\right.$的零点个数为3．

故选C．

点评：

本题考查了分段函数的零点个数，属于中档题．

8单选题

已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+3)=f(x+1)，且x∈[-1，1]时，f(x)=|x|，则函数y=f(x)-log$_5$x，(x＞0)的零点个数是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

由已知“f(x+3)=f(x+1)，”得f(x+2)=f(x)，知此函数是周期函数，可画出函数f(x)的简图，再利用数形结合的方法探求零点个数．

解答：

解：∵f(x+3)=f(x+1)，

∴f(x+2)=f(x)，

知此函数是周期函数，

设y=log$_5$x和y=f(x)，画出函数的简图

∴数形结合求零点个数是4．

故选B．

点评：

数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．

9单选题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}8x-8，x≤1 \ 0，x＞1 \ \end{matrix}\right.$，g(x)=log$_2$x，则f(x)与g(x)两函数图象的交点个数为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

在同一坐标系分别画出函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}8x-8，x≤1 \ 0，x＞1 \ \end{matrix}\right.$与g(x)=log$_2$x的图象，数形结合即可得到答案．

解答：

解：在同一坐标系画出函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}8x-8，x≤1 \ 0，x＞1 \ \end{matrix}\right.$，g(x)=log$_2$x，的图象如下图所示：

由图可得f(x)与g(x)两函数图象的交点个数为2个

故选B．

点评：

本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，其中准确画出函数的图象是解答本题的关键．

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