《导数的实际应用》导数的实际应用

1单选题

将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=$\frac {(梯形的周长)}{梯形的面积}$，则S的最小值是( )

$\frac {32$\sqrt {3}$}{3}$

$\frac {43$\sqrt {5}$}{5}$

题目答案

答案解析

分析：

先设剪成的小正三角形的边长为x表示出S的解析式，然后求S的最小值，

方法一：对函数S进行求导，令导函数等于0求出x的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值；

方法二：令3-x=t，代入整理根据一元二次函数的性质得到最小值．

解答：

解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：S=$\frac {(3-x)}{$\frac {1}{2}$•(x+1)•$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$•(1-x)}$=$\frac {4}{$\sqrt {3}$}$•$\frac {(3-x)}{1-x}$(0＜x＜1)

(方法一)利用导数求函数最小值．S(x)=$\frac {4}{$\sqrt {3}$}$•$\frac {(3-x)}{1-x}$，

S′(x)=$\frac {4}{$\sqrt {3}$}$•$\frac {(2x-6)•(1-x)-(3-x)_•(-2x)}{(1-x)}$

=$\frac {4}{$\sqrt {3}$}$•$\frac {(2x-6)•(1-x)-(3-x)_•(-2x)}{(1-x)}$=$\frac {4}{$\sqrt {3}$}$•$\frac {-2(3x-1)(x-3)}{(1-x)}$

S′(x)=0，0＜x＜1，x=$\frac {1}{3}$，

当x∈(0，$\frac {1}{3}$]时，S′(x)＜0，递减；当x∈[$\frac {1}{3}$，1)时，S′(x)＞0，递增；

故当x=$\frac {1}{3}$时，S的最小值是$\frac {32$\sqrt {3}$}{3}$．

(方法二)利用函数的方法求最小值．

令3-x=t，t∈(2，3)，$\frac {1}{t}$∈($\frac {1}{3}$，$\frac {1}{2}$)，

则：S=$\frac {4}{$\sqrt {3}$}$•$\frac {t}{-t_+6t-8}$=$\frac {4}{$\sqrt {3}$}$•$\frac {1}{-$\frac {8}{t}$+$\frac {6}{t}$-1}$

故当$\frac {1}{t}$=$\frac {3}{8}$，x=$\frac {1}{3}$时，S的最小值是$\frac {32$\sqrt {3}$}{3}$，所以选A．

点评：

考查函数中的建模应用，等价转化思想．一题多解．

2单选题

已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y=-$\frac {1}{3}$x+81x-234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（　　）

13万件

11万件

9万件

7万件

题目答案

答案解析

分析：

由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，

比较函数值的大小，求出最大值即最大年利润的年产量．

解答：

解：令导数y′=-x+81＞0，解得0＜x＜9；

令导数y′=-x+81＜0，解得x＞9，

所以函数y=-$\frac {1}{3}$x+81x-234在区间(0，9)上是增函数，

在区间(9，+∞)上是减函数，

所以在x=9处取极大值，也是最大值，故选C．

点评：

本题考查导数在实际问题中的应用，属基础题．

3填空题

某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为层．

(注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=$\frac {购地总费用}{建筑总面积}$)

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题目答案

答案解析

分析：

先设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元，根据题意写出综合费f(x)关于x的函数解析式，再利用导数研究此函数的单调性，进而得出它的最小值即可．

解答：

解：方法1：导数法

设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元，

则f(x)=(560+48x)+$\frac {2160×10000}{2000x}$=560+48x+$\frac {10800}{x}$(x≥10，x∈Z_)

f′(x)=48-$\frac {10800}{x}$，

令f'(x)=0得x=15

当x＞15时，f'(x)＞0；当0＜x＜15时，f'(x)＜0

因此当x=15时，f(x)取最小值f(15)=2000；

答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．

方法2：(本题也可以使用基本不等式求解)

设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元，

则f(x)=(560+48x)+$\frac {2160×10000}{2000x}$=560+48x+$\frac {10800}{x}$≥560+2$\sqrt {}$=2000，

当且仅当48x=$\frac {10800}{x}$，即x=15时取等号．

答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．

点评：

本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．

4填空题

时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式y=$\frac {m}{x-2}$+4(x-6)_，其中2＜x＜6，m为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，当x=元/套时，，网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)

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题目答案

3.3

答案解析

分析：

利用销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套，代入关系式，即可求得m的值；确定每日销售套题所获得的利润，利用导数的方法求最值，从而可得销售价格x的值．

解答：

解：因为销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套，所以x=4时，y=21，

代入关系式y=$\frac {m}{x-2}$+4(x-6)_，得$\frac {m}{2}$+16=21，

解得m=10．

所以可知，套题每日的销售量y=$\frac {10}{x-2}$+4(x-6)_，

所以每日销售套题所获得的利润f(x)=(x-2)[$\frac {10}{x-2}$+4(x-6)_]=10+4(x-6)_(x-2)=4x-56x+240x-278(2＜x＜6)，

从而f'(x)=12x-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2＜x＜6)．

令f'(x)=0，得x=$\frac {10}{3}$，且在(2，$\frac {10}{3}$)上，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；在($\frac {10}{3}$，6)上，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，

所以x=$\frac {10}{3}$是函数f(x)在(2，6)内的极大值点，也是最大值点，

所以当x=$\frac {10}{3}$≈3.3时，函数f(x)取得最大值．

故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．

点评：

本题考查函数模型的构建，考查学生利用导数的知识求解最值问题，考查学生的计算能力，属于中档题．

5填空题

某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数m与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x＜9)的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件．当产品定价为元时，商店一星期商品销售利润最大，最大值为元．

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题目答案

9800

答案解析

分析：

(1)依题意，设m=kx_，由已知有5=k•1_，可求得k值，根据单件利润×销售量可得函数式；

(2)利用导数即可求得函数的最大值，注意函数定义域；

解答：

解：(1)依题意，设m=kx_，由已知有5=k•1_，从而k=5，

∴m=5x_，

∴y=(14-x-5)(75+5x)=-5x+45x-75x+675(0≤x＜9)；

(2)∵y′=-15x+90x-75=-15(x-1)(x-5)，

由y′＞0，得 1＜x＜5，由y′＜0，得 0≤x＜1或5＜x＜9，

可知函数y在[0，1)上递减，在(1，5)递增，在(5，9)上递减，

从而函数y取得最大值的可能位置为x=0或是x=5，

∵y(0)=675，y(5)=800，

∴当x=5时，y_max=800，

答：商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大．

点评：

本题考查利用导数求函数的最值、实际问题中函数模型的构建问题，考查学生利用数学知识分析解决实际问题的能力．

6单选题

已知f(x)=x-3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f(a)，f(b)，f(c)为边长的三角形，则m的取值范围是（　　）

m＞2

m＞4

m＞6

m＞8

题目答案

答案解析

分析：

三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解．

解答：

解：由f′(x)=3x-3=3(x+1)(x-1)=0得到x$_1$=1，x$_2$=-1(舍去)

∵函数的定义域为[0，2]

∴函数在(0，1)上f′(x)＜0，(1，2)上f′(x)＞0，

∴函数f(x)在区间(0，1)单调递减，在区间(1，2)单调递增，

则f(x)_min=f(1)=m-2，f(x)_max=f(2)=m+2，f(0)=m

由题意知，f(1)=m-2＞0 ①；

f(1)+f(1)＞f(2)，即-4+2m＞2+m②

由①②得到m＞6为所求．

故选C

点评：

本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值

7填空题

如图，某园林公司计划在一块半径为定值R(单位：优)的半圆形土地上种植花木、草皮，其中弓形CMD区域用于种植花草样品供人观赏，△OCD(O为圆心)区域用于种植花木出售，扇形O$\overset{\frown}{AC}$和O$\overset{\frown}{BD}$区域用于种植草皮出售．已知在一个种植周期内，种植花木的利润是48元/m_，种植草皮的利A润是18元/m_，样品观赏地的维护费用是12元/m_．

当∠COD=时，园林公司能在这块土地上获取最大收益．

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题目答案

$\frac {π}{3}$

答案解析

分析：

设∠COD=θ(单位：弧度)，利用扇形面积减去三角形的面积，即可求出弓形CMDC的面积S_弓=f(θ)；

再设总利润为y元，草皮利润为y$_1$元，花木地利润为y$_2$，观赏样板地成本为y$_3$，求出y的表达式，利用导数确定函数的最大值，得到结果．

解答：

解：设∠COD=θ，单位：弧度，S_扇形=$\frac {1}{2}$Rθ，S_△OCD=$\frac {1}{2}$R_sinθ，S_弓形=f(θ)=$\frac {1}{2}$R_(θ-sinθ)

设总利润为y元，草皮利润为y$_1$元，花木地利润为y$_2$，观赏样板地成本为y$_3$，

∴y=y$_1$+y$_2$-y$_3$=18×($\frac {1}{2}$πR_-$\frac {1}{2}$R_θ)+48×$\frac {1}{2}$R_sinθ-12×$\frac {1}{2}$R_(θ-sinθ)=3R_[3π-(5θ-10sinθ)]，

设g(θ)=5θ-10sinθ，θ∈(0，π)

∴g′(θ)=5-10cosθ，

当g′(θ)＜0，cosθ＞$\frac {1}{2}$，g(θ)在(θ，$\frac {π}{3}$)上为减函数；

当g′(θ)＞0，cosθ＜$\frac {1}{2}$，g(θ)在($\frac {π}{3}$，π)上为增函数．

当θ=$\frac {π}{3}$时，g(θ)取到最小值，此时总利润最大．

所以当园林公司把扇形的圆心角设计成$\frac {π}{3}$时，总利润最大．

点评：

本题是中档题，考查三角函数在实际问题中的应用，三角函数的化简求值，导数的应用，考查计算能力，转化思想的应用．

8填空题

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量．年销售量关于x的函数为y=3240(-x+2x+$\frac {5}{3}$)，则当x=何值时，本年度的年利润最大．最大利润为=万元．

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题目答案

$\frac {5}{9}$20000

答案解析

分析：

根据题意，要使本年度的年利润最大，首先表示出本年度年利润的函数表达式，然后求出此函数的导数为零时x的值，并且考虑导数大于零和小于零时函数的增减性可知此时的x值对应的函数值是函数的最值．

解答：

解：本年度的利润为f(x)=(3-0.9x)×3240×(-x+2x+$\frac {5}{3}$)=3240×(0.9x-4.8x+4.5x+5)

则f′(x)=3240×(2.7x-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3)，

由f_(x)=0，解得x=$\frac {5}{9}$或x=3，

当x∈(0，$\frac {5}{9}$)时，f_(x)＞0，f(x)是增函数；当x∈($\frac {5}{9}$，1)时，f_(x)＜0，f(x)是减函数．

∴当x=$\frac {5}{9}$时，f(x)取极大值f($\frac {5}{9}$)=20000万元，

因为f(x)在(0，1)上只有一个极大值，所以它是最大值，

所以当x=$\frac {5}{9}$时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．

点评：

此题考查学生用数学解决实际问题的能力，以及运用导数求闭区间上的最值的解题思想．

9填空题

一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒．x=时，方盒的容积V最大．

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题目答案

$\frac {a}{6}$

答案解析

分析：

由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面是正方形，且边长为a-2x，高为x，从而写出函数表达式；再求导V′(x)=12x-8ax+a_=(6x-a)(2x-a)，由导数可得在x=$\frac {a}{6}$时函数V(x)有最大值．

解答：

解：由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，

所以无盖方盒的底面是正方形，且边长为a-2x，高为x，

则无盖方盒的容积V(x)=(a-2x)_x，0＜x＜$\frac {a}{2}$；

∵V(x)=(a-2x)_x=4x-4ax+a_x，0＜x＜$\frac {a}{2}$；

∴V′(x)=12x-8ax+a_=(6x-a)(2x-a)，

∴当x∈(0，$\frac {a}{6}$)时，V′(x)＞0；

当x∈($\frac {a}{6}$，$\frac {a}{2}$)时，V′(x)＜0；

故x=$\frac {a}{6}$是函数V(x)的最大值点，

即当x=$\frac {a}{6}$时，方盒的容积V最大．

点评：

本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力及导数在求最值时的应用，属于中档题．

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