《对数函数的图象变换》对数函数的图象变换

1单选题

已知函数y=log_a(x+c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)

a＞1，c＞1

a＞1，0＜c＜1

0＜a＜1，c＞1

0＜a＜1，0＜c＜1

题目答案

答案解析

分析：

根据对数函数的图象和性质即可得到结论．

解答：

解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，当x=1时log_a(x+c)=log_a(1+c)＜0，即1+c＞1，即c＞0，当x=0时log_a(x+c)=log_ac＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选：D．

点评：

本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．

2单选题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}|lgx|，0＜x≤10 \ -$\frac {1}{2}$x+6，x＞10 \ \end{matrix}\right.$，若a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是（　　）

(1，10)

(5，6)

(10，12)

(20，24)

题目答案

答案解析

分析：

画出函数的图象，根据f(a)=f(b)=f(c)，不妨设a＜b＜c，求出abc的范围即可．

解答：

解：作出函数f(x)的图象如图，

不妨设a＜b＜c，则-lga=lgb=-$\frac {1}{2}$c+6∈(0，1)

ab=1，0＜-$\frac {1}{2}$c+6＜1

则abc=c∈(10，12)．

故选C．

点评：

本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．

3单选题

为了得到函数y=lg$\frac {x+3}{10}$的图象，只需把函数y=lgx的图象上所有的点（　　）

向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

题目答案

答案解析

分析：

先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．

解答：

解：∵y=lg$\frac {x+3}{10}$=lg(x+3)-1，

∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

故选C．

点评：

本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查．

4单选题

在同一坐标系中，函数y=($\frac {1}{a}$)_与y=log_a(-x)(其中a＞0且a≠1)的图象只可能是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

明确函数y=($\frac {1}{a}$)_=a_的图象与函数y=a_的图象关于y轴对称，函数y=a_的图象与函数y=log_ax的图象关于y=x对称，函数y=log_a(-x)的图象与函数函数y=log_ax的图象关于y轴对称可得解．

解答：

解：y=($\frac {1}{a}$)_=a_，

由图易知

故选C

点评：

本题主要考查基本函数间的变换，总结其规律，理解其性质，反映其图象，考查学生识图用图的数形结合的能力．

5单选题

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f(x)=ln(x+1)，则函数f(x)的大致图象为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

根据题意，先通过对称点的方法求出函数在区间(-∞，0)上的表达式，从而得出函数完整的表达式，然后利用对数函数y=lnx图象向左平移一个单位的图象与原函数在(0，+∞)上图象进行对照，得到正确的选项．

解答：

解：∵当x＞0时，f(x)=ln(x+1)，

∴设x＜0，得-x＞0，f(-x)=ln(-x+1)

又∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，

∴f(-x)=f(x)

即当x＜0时，f(x)=ln(-x+1)

综上所述，得f(x)=$\left\{\begin{matrix}ln(x+1) (x＞0) \ ln(-x+1) (x＜0) \ \end{matrix}\right.$

由自然对数的底为e=2.71828…＞1，当x＞0时原函数由对数函数y=lnx图象左移一个单位而来，

得当x＞0时函数为增函数，函数图象是上凸的

根据以上讨论，可得C选项符合条件

故选C

点评：

本题着重考查了函数的奇偶性、对数函数的图象与性质和函数图象的作法等知识点，属于基础题．

6单选题

已知a＞1，函数y=a_与y=log_a(-x)的图象只可能是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

根据y=a_是增函数，函数y=log_a(-x)的定义域为(-∞，0)且在定义域内为减函数，从而得出结论．

解答：

解：已知a＞1，故函数y=a_是增函数．

而函数y=log_a(-x)的定义域为(-∞，0)，且在定义域内为减函数，

故选B．

点评：

本题主要考查函数的定义域、单调性，函数的图象，属于基础题．

7单选题

己知a＞1，b＜-1，则函数y=log_a(x-b)的图象不经过（　　）

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

题目答案

答案解析

分析：

根据a＞1，b＜-1，画出函数的大致图象，从而得到答案．

解答：

解：∵a＞1，

∴y=log_ax在(0，+∞)上单调递增，

又∵b＜-1，∴函数y=log_a(x-b)的图象是由y=log_ax的图象向左平移超过一个单位得到，

则函数y=log_a(x-b)的图象不经过第四象限．

故选：D．

点评：

本题考查函数图象在研究函数性质中的应用，主要考查对数函数的图象和性质以及函数图象的平移变换，考查了学生对基础知识、基本技能的掌握程度．

8单选题

已知函数f(x)=log_a(x+b)的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)=a_+b的大致图象是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

由函数f(x)=log_a(x+b)的图象可求出a和b的范围，再进一步判断g(x)=a_+b的图象即可．

解答：

解：由函数f(x)=log_a(x+b)的图象为减函数可知0＜a＜1，

f(x)=log_a(x+b)的图象由f(x)=log_ax向左平移可知0＜b＜1，

故函数g(x)=a_+b的大致图象是B

故选B

点评：

本题考查指对函数的图象问题，是基本题．

9单选题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}|lgx| 0＜x≤10 \ -$\frac {1}{5}$x+3 x＞10 \ \end{matrix}\right.$，若a、b、c均不相等且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围为（　　）

(1，10)

(5，6)

(10，15)

(20，24)

题目答案

答案解析

分析：

画出函数的图象，根据f(a)=f(b)=f(c)，不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．

解答：

解：作出函数f(x)的图象如图，

不妨设a＜b＜c，则 -lga=lgb=-$\frac {1}{5}$c+3∈(0，1)

ab=1，0＜-$\frac {1}{5}$c+3＜1

则abc=c∈(10，15)．

故选C．

点评：

此题是中档题．本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．

10单选题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}|1og$_3$x|，0＜x≤3 \ 2-1og$_3$x，x＞3 \ \end{matrix}\right.$，若a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a+b+c的取值范围为（　　）

($\frac {20}{3}$，$\frac {32}{3}$)

($\frac {19}{3}$，11)

($\frac {19}{3}$，12)

(6，l2)

题目答案

答案解析

分析：

画出函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}|1og$_3$x|，0＜x≤3 \ 2-1og$_3$x，x＞3 \ \end{matrix}\right.$的图象，根据f(a)=f(b)=f(c)，不妨a＜b＜c，结合图象求出a+b+c的范围即可．

解答：

解：作出函数f(x)的图象如图，

不妨设a＜b＜c，a∈($\frac {1}{3}$，1)b∈(1，3)，c∈(3，9)，

由图象可知，当a变大时，b变小，c也变大，a+b+c=1+1+9=11

当a变小时，b变大，c也变小，$\frac {1}{3}$+3+3=$\frac {19}{3}$

故a+b+c的取值范围为($\frac {19}{3}$，11)

故选：B．

点评：

本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．解答的关键是图象法的应用，即利用函数的图象交点研究方程的根的问题．

11单选题

若奇函数f(x)=ka_-a_(a＞0且a≠1)在R上是增函数，那么的g(x)=log_a(x+k)大致图象是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

由函数f(x)=ka_-a_，(a＞0，a≠1)在(-∞，+∞)上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a＞1，由此不难判断函数g(x)的图象．

解答：

解：∵函数f(x)=ka_-a_，(a＞0，a≠1)在(-∞，+∞)上是奇函数，

则f(-x)+f(x)=0．

即(k-1)a_+(k-1)a_=0，解之得k=1．

又∵函数f(x)=ka_-a_，(a＞0，a≠1)在(-∞，+∞)上是增函数，

∴a＞1，可得g(x)=log_a(x+k)=log_a(x+1)．

函数图象必过原点，且为增函数．

故选：C

点评：

若函数在其定义域为奇函数，则f(-x)+f(x)=0，若函数在其定义域为偶函数，则f(-x)-f(x)=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数-减函数=增函数也是解决本题的关键．

12单选题

函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

利用特殊值法进行判断，先判断奇偶性；

解答：

解：∵函数f(x)=lg(|x|-1)，

∴f(-x)=lg(|x|-1)=f(x)，f(x)是偶函数，

当x=1.1时，y＜0，

故选B；

点评：

此题主要考查对数函数的图象及其性质，是一道基础题；

13单选题

设x$_1$，x$_2$是关于x的方程ln|x|-m=0(m为常数)的两根，则x$_1$+x$_2$的值为（　　）

-2

题目答案

答案解析

分析：

构造辅助函数y=ln|x|-m，由偶函数的性质可得方程ln|x|=m(m为常数)的两根关于y轴对称，则答案可求．

解答：

解：令函数y=ln|x|-m，则函数的图象关于直线x=0即y轴对称，

若x$_1$，x$_2$是方程ln|x|=m(m为常数)的两根，

则x$_1$，x$_2$是函数y=ln|x|-m的两个零点，其值必关于y轴对称．

则x$_1$+x$_2$=0．

故选：A．

点评：

本题考查了对数的运算性质，考查了函数构造法求方程根的个数，是基础题．

14单选题

若当x∈R时，函数f(x)=a_始终满足0＜|f(x)|≤1，则函数y=log_a|$\frac {1}{x}$|的图象大致为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

由于当x∈R时，函数f(x)=a_始终满足0＜|f(x)|≤1，利用指数函数的图象和性质可得0＜a＜1．先画出函数y=log_a|x|的图象，此函数是偶函数，当x＞0时，即为y=log_ax，而函数y=log_a|$\frac {1}{x}$|=-log_a|x|，即可得出图象．

解答：

解：∵当x∈R时，函数f(x)=a_始终满足0＜|f(x)|≤1．

因此，必有0＜a＜1．

先画出函数y=log_a|x|的图象：黑颜色的图象．

而函数y=log_a|$\frac {1}{x}$|=-log_a|x|，其图象为红颜色的图象．

故选B．

点评：

本题考查指数函数与对数函数的图象及性质，属于难题．

15单选题

已知函数f(x)=|log$_4$x|，正实数m、n满足m＜n，且f(m)=f(n)，若f(x)在区间[m_，n]上的最大值为5，则m、n的值分别为（　　）

$\frac {1}{2}$、2

$\frac {1}{4}$、4

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$、$\sqrt {2}$

$\frac {1}{2}$、4

题目答案

答案解析

分析：

由题意可知0＜m＜1＜n，以及mn=1，又f(x)在区间[m_，n]上的最大值为5，可得出f(m_)=5求出m，故可得m、n的值．

解答：

解：f(x)=|log$_4$x|，图象如图，

正实数m、n满足m＜n，且f(m)=f(n)，

∴0＜m＜1＜n，

再由f(m)=f(n)，得|log$_4$m|=|log$_4$n|，

即-log$_4$m=log$_4$n，∴log$_4$mn=0，∴mn=1，

又函数在区间[m_，n]上的最大值为5，由于f(m)=f(n)，f(m_)=5f(m)，

故可得f(m_)=5，即|log$_4$m_|=5，即log$_4$m_=-5，即m_=4_，可得m=$\frac {1}{4}$，∴n=4．

∴m、n的值分别为$\frac {1}{4}$、4．

故选：B．

点评：

本题考查对数函数的值域与最值，求解本题的关键是根据对数函数的性质判断出0＜m＜1＜n，以及mn=1及f(x)在区间[m_，n]上的最大值的位置．根据题设条件灵活判断对解题很重要．是中档题．

16填空题

将函数y=log$_2$x的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的m(m＞0)倍，得到图象C，若将y=log$_2$x的图象向上平移2个单位，也得到图象C，则m=．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {1}{4}$

答案解析

分析：

将函数y=log$_2$x的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的m(m＞0)倍，得到函数y=log$_2$($\frac {x}{m}$)，若将y=log$_2$x的图象向上平移2个单位，得到函数y=log$_2$x+2=log$_2$(4x)，由log$_2$($\frac {x}{m}$) =log$_2$(4x)，能求出m的值．

解答：

解：将函数y=log$_2$x的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的m(m＞0)倍，得到函数y=log$_2$($\frac {x}{m}$)，

若将y=log$_2$x的图象向上平移2个单位，得到函数y=log$_2$x+2=log$_2$(4x)，

∵log$_2$($\frac {x}{m}$) =log$_2$(4x)，

∴$\frac {x}{m}$=4x，

解得m=$\frac {1}{4}$．

故答案为：$\frac {1}{4}$．

点评：

本题考查对数函数的图象与性质的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，注意伸缩变换和平移变换的性质的灵活运用．

17单选题

函数f(x)=x_满足f(2)=4，那么函数g(x)=|log_a(x+1)|的图象大致为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

利用f(2)=4，可得2_=4，解得a=2．于是g(x)=|log$_2$(x+1)|=$\left\{\begin{matrix}log$_2$(x+1)，x≥0 \ -log$_2$(x+1)，-1＜x＜0 \ \end{matrix}\right.$，分类讨论：当x≥0时，当-1＜x＜0时，函数g(x)单调性质及g(0)=0即可得出．

解答：

解：∵f(2)=4，

∴2_=4，解得a=2．

∴g(x)=|log$_2$(x+1)|=$\left\{\begin{matrix}log$_2$(x+1)，x≥0 \ -log$_2$(x+1)，-1＜x＜0 \ \end{matrix}\right.$

∴当x≥0时，函数g(x)单调递增，且g(0)=0；当-1＜x＜0时，函数g(x)单调递减．

故选C．

点评：

本题考查了幂函数的解析式、对数函数的单调性、分类讨论等基础知识与基本技能方法．

18填空题

已知函数f(x)=|log$_2$x|，正实数m，n满足m＜n且f(m)=f(n)，若f(x)在区间[m_，n]上的最大值为2，则n=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由题意可得0＜m＜1＜n，-log$_2$m=log$_2$n，mn=1．根据函数f(x)=|log$_2$x|在(0，1)上是减函数，在(1，+∞)上是增函数，可得|log$_2$m_|=2或log$_2$n=2，由此求得n的值．

解答：

解：由题意可得0＜m＜1＜n，-log$_2$m=log$_2$n，∴log$_2$mn=0，∴mn=1．

故函数f(x)=|log$_2$x|在(0，1)上是减函数，在(1，+∞)上是增函数．

再根据f(x)在区间[m_，n]上的最大值为2，可得|log$_2$m_|=2或 log$_2$n=2．

当|log$_2$m_|=2时，log$_2$m_=-2，∴m_=$\frac {1}{4}$，∴m=$\frac {1}{2}$，∴n=$\frac {1}{m}$=2．

当log$_2$n=2，n=4，m=$\frac {1}{4}$，此时，f(x)在区间[m_，n]上的最大值为|log$_2$$\frac {1}{16}$|=4，不满足条件．

综上可得，n=2，

故答案为：2．

点评：

本题主要考查对数函数的单调性的应用，求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

读趣百科

《对数函数的图象变换》对数函数的图象变换

1单选题

题目答案

您的答案

答案解析

2单选题

题目答案

您的答案

答案解析

3单选题

题目答案

您的答案

答案解析

4单选题

题目答案

您的答案

答案解析

5单选题

题目答案

您的答案

答案解析

6单选题

题目答案

您的答案

答案解析

7单选题

题目答案

您的答案

答案解析

8单选题

题目答案

您的答案

答案解析

9单选题

题目答案

您的答案

答案解析

10单选题

题目答案

您的答案

答案解析

11单选题

题目答案

您的答案

答案解析

12单选题

题目答案

您的答案

答案解析

13单选题

题目答案

您的答案

答案解析

14单选题

题目答案

您的答案

答案解析

15单选题

题目答案

您的答案

答案解析

16填空题

题目答案

您的答案

答案解析

17单选题

题目答案

您的答案

答案解析

18填空题

题目答案

您的答案

答案解析