《根据周长或面积确定直线方程》根据周长或面积确定直线方程 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《根据周长或面积确定直线方程》根据周长或面积确定直线方程

1单选题

已知直线x-2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数k的取值范围是(       )

A
-1≤k≤1且k≠0
B
-2≤k≤3且k≠0
C
k≤1且k≠0
D
-5≤k≤5且k≠0

题目答案

A

答案解析

分析：

先求出直线在两坐标轴上的截距，把三角形的面积表示出来，再根据其面积不大于1，建立关于k的不等式求解，注意去掉k=0时的情况．

解答：

解：令x=0，得y=k；令y=0，得x=-2k．

∴三角形面积S=|$\frac {1}{2}$xy|=k_．

又S≤1，即k_≤1，

∴-1≤k≤1．

又当k=0时，直线过原点构不成三角形，故应舍去，

故答案为：-1≤k≤1且k≠0，选A．

点评：

本题考查直线的一般式方程，在求解时易忘记验证k=0时是一个须舍去的点，故本题是一个易错题．

纠错重做

2单选题

过定点P(2，1)作直线l，分别与x轴、y轴正向交于A，B两点，当△AOB面积最小时，直线l方程为(       )

A
x+4y-2=0
B
2x+3y-2=0
C
4x+3y-2=0
D
x+2y-4=0

题目答案

D

答案解析

分析：

设所求的直线方程，点的坐标代入方程后使用基本不等式，可求面积的最小值，注意检验等号成立条件．

解答：

解：设所求的直线方程为 $\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞0，b＞0)，由已知 $\frac {2}{a}$+$\frac {1}{b}$=1．

于是 $\frac {2}{a}$•$\frac {1}{b}$≤( $\frac {$\frac {2}{a}$+$\frac {1}{b}$}{2}$)_=$\frac {1}{4}$，当且仅当 $\frac {2}{a}$=$\frac {1}{b}$=$\frac {1}{2}$，即a=4，b=2时，取最大值，

即S_△AOB=$\frac {1}{2}$•ab取最小值4．故所求的直线l的方程为 $\frac {x}{4}$+$\frac {y}{2}$=1，即x+2y-4=0，选D．

点评：

本题考查直线方程的几种形式的应用，利用基本不等式求式子的最值，一定不要忘记检验等号成立的条件是否具备，属于基础题．

纠错重做

3单选题

已知直线l：$\frac {x}{m}$+$\frac {y}{4-m}$=1．若直线的斜率小于2，则实数m的取值范围是(      )

A
m＞0或m＜-4且m≠4
B
m＞0或m＜-2且m≠4
C
m＞4或m＜-4
D
m＞4或m＜0

题目答案

A

答案解析

分析：

利用斜率计算公式即可得出．

解答：

解：直线l过点(m，0)，(0，4-m)，

则k=$\frac {4-m}{-m}$＜2，解得m＞0或m＜-4且m≠4．

∴实数m的取值范围是m＞0或m＜-4且m≠4．

点评：

本题考查了斜率计算公式，考查了计算能力，属于基础题．

纠错重做

4单选题

过点(1，2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程为(        )

A
x+2y-2=0
B
2x+y-4=0
C
4x+3y-2=0
D
x+3y-6=0

题目答案

B

答案解析

分析：

由题意可设直线l的方程为$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1，a＞0，b＞0．由于直线l过点(1，2)，代入直线方程得到$\frac {1}{a}$+$\frac {2}{b}$=1．利用基本不等式即可得出ab的最小值及取得最小值时的a，b，即可得到直线l的方程．

解答：

解：由题意可设直线l的方程为$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1，a＞0，b＞0．

∵直线l过点(1，2)，

∴$\frac {1}{a}$+$\frac {2}{b}$=1．

∴1=$\frac {1}{a}$+$\frac {2}{b}$≥2$\sqrt {}$，

∴ab≥8，当且仅当$\frac {1}{a}$=$\frac {2}{b}$=$\frac {1}{2}$，即a=2，b=4是取等号．

此时△AOB的面积取得最小值$\frac {1}{2}$ab即4，直线l的方程为$\frac {x}{2}$+$\frac {y}{4}$=1，即2x+y-4=0，选B．

点评：

本题考查了直线的截距式方程、基本不等式的性质、三角形的面积，属于基础题．

纠错重做