《椭圆的焦点三角形》椭圆的焦点三角形

1填空题

椭圆$\frac {x}{9}$+$\frac {y}{2}$=1的焦点为F$_1$、F$_2$，点P在椭圆上，若|PF$_1$|=4，则|PF$_2$|=，∠F$_1$PF$_2$的大小为°．

填空题答案仅供参考

题目答案

2120

答案解析

分析：

第一问用定义法，由|PF$_1$|+|PF$_2$|=6，且|PF$_1$|=4，易得|PF$_2$|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解．

解答：

解：∵|PF$_1$|+|PF$_2$|=2a=6，

∴|PF$_2$|=6-|PF$_1$|=2．

在△F$_1$PF$_2$中，

cos∠F$_1$PF$_2$

=$\frac {|PF$_1$|_+|PF$_2$|_-|F$_1$F$_2$|}{2|PF$_1$|•|PF$_2$|}$

=$\frac {16+4-28}{2×4×2}$=-$\frac {1}{2}$，

∴∠F$_1$PF$_2$=120°．

故答案为：2；120°

点评：

本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．

2单选题

椭圆$\frac {x}{4}$+y_=1的两个焦点为F$_1$，F$_2$，点M在椭圆上，$\xrightarrow[""]{MF$_1$}$•$\xrightarrow[""]{MF$_2$}$=-2，则△F$_1$MF$_2$的面积等于（　　）

$\sqrt {2}$

$\sqrt {3}$

题目答案

答案解析

分析：

根据椭圆方程，算出椭圆的焦点为F$_1$(-$\sqrt {3}$，0)，F$_2$($\sqrt {3}$，0)，从而得到向量$\xrightarrow[""]{MF$_1$}$、$\xrightarrow[""]{MF$_2$}$的坐标．设点M坐标为(m，n)，根据$\xrightarrow[""]{MF$_1$}$•$\xrightarrow[""]{MF$_2$}$=-2建立关于m、n的一个方程，由点M在椭圆上得到关于m、n的另一个方程，两个方程联解即可得到n=±1，由此结合椭圆的焦距|F$_1$F$_2$|=2$\sqrt {3}$，即可算出△F$_1$MF$_2$的面积的值．

解答：

解：∵椭圆方程为$\frac {x}{4}$+y_=1，

∴a_=4，b_=1，可得c=$\sqrt {}$=$\sqrt {3}$

因此，椭圆的焦点为F$_1$(-$\sqrt {3}$，0)，F$_2$($\sqrt {3}$，0)

设椭圆上的点M坐标为(m，n)，可得$\frac {m}{4}$+n_=1…①

∵$\xrightarrow[""]{MF$_1$}$=(-$\sqrt {3}$-m，-n)，$\xrightarrow[""]{MF$_2$}$=($\sqrt {3}$-m，-n)，$\xrightarrow[""]{MF$_1$}$•$\xrightarrow[""]{MF$_2$}$=-2

∴(-$\sqrt {3}$-m)•($\sqrt {3}$-m)+(-n)•(-n)=-2，化简得m_+n_=1…②

联解①②，得m_=0且n_=1，可得M(0，±1)

∴△F$_1$MF$_2$的面积等于S=$\frac {1}{2}$•|F$_1$F$_2$|•|n|=$\frac {1}{2}$×2$\sqrt {3}$×1=$\sqrt {3}$

故选：D

点评：

本题给出椭圆上一点M，在已知数量积$\xrightarrow[""]{MF$_1$}$•$\xrightarrow[""]{MF$_2$}$=-2的情况下求△F$_1$MF$_2$的面积，着重考查了平面向量的数量积公式、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识点，属于中档题．

3单选题

椭圆$\frac {x}{4}$+$\frac {y}{b}$=1(b＜2)的准线方程为$\frac {a}{c}$=4，其焦点为F$_1$，F$_2$，若椭圆上一点P满足∠F$_1$PF$_2$=60°，则S_△F$_1$PF$_2$=( )

3$\sqrt {3}$

2$\sqrt {3}$

$\sqrt {3}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

先求出椭圆方程中a、b、c的值，根据定义列出|$\xrightarrow[""]{PF$_1$}$|+|$\xrightarrow[""]{PF$_2$}$|=2a，$\xrightarrow[""]{F$_1$F$_2$}$=$\xrightarrow[""]{PF$_2$}$-$\xrightarrow[""]{PF$_1$}$，分别平方相减，求出|$\xrightarrow[""]{PF$_1$}$||$\xrightarrow[""]{PF$_2$}$|的值，即得S_△F$_1$PF$_2$的值．

解答：

解：根据题意，得；

在椭圆$\frac {x}{4}$+$\frac {y}{b}$=1(b＜2)中，

a_=4，∴$\frac {a}{c}$=$\frac {4}{c}$=4，

∴c=1；

∴b_=a_-c_=3，

∴焦点F$_1$(-1，0)，F$_2$(1，0)；

画出椭圆图形，如图所示，

则|$\xrightarrow[""]{PF$_1$}$|+|$\xrightarrow[""]{PF$_2$}$|=2a=4，

∴|$\xrightarrow[""]{PF$_1$}$|_+2|$\xrightarrow[""]{PF$_1$}$||$\xrightarrow[""]{PF$_2$}$|+|$\xrightarrow[""]{PF$_2$}$|_=16①；

又∵$\xrightarrow[""]{F$_1$F$_2$}$=$\xrightarrow[""]{PF$_2$}$-$\xrightarrow[""]{PF$_1$}$，且∠F$_1$PF$_2$=60°，

∴|$\xrightarrow[""]{PF$_1$}$|_-2|$\xrightarrow[""]{PF$_1$}$||$\xrightarrow[""]{PF$_2$}$|cos60°+|$\xrightarrow[""]{PF$_2$}$|_=4②；

①-②得，

2|$\xrightarrow[""]{PF$_1$}$||$\xrightarrow[""]{PF$_2$}$|(1+cos60°)=12，

即|$\xrightarrow[""]{PF$_1$}$||$\xrightarrow[""]{PF$_2$}$|=4；

∴S_△F$_1$PF$_2$=$\frac {1}{2}$|$\xrightarrow[""]{PF$_1$}$||$\xrightarrow[""]{PF$_2$}$|sin60°=$\frac {1}{2}$×4×$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$=$\sqrt {3}$．

故答案为：$\sqrt {3}$，所以选C．

点评：

本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，解题时应结合图形，利用平面向量的知识进行解答，是中档题．

4单选题

椭圆$\frac {x}{4}$+$\frac {y}{2}$=1上有一点P，F$_1$，F$_2$是椭圆的左、右焦点，△F$_1$PF$_2$为直角三角形，则这样的点P有（　　）

3个

4个

6个

8个

题目答案

答案解析

分析：

本题中当椭圆短轴的端点与两焦点的张角小于90°时，∠P为直角的情况不存在，此时等价于椭圆的离心率小于$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$；当椭圆短轴的端点与两焦点的张角等于90°时，符合要求的点P有两个，即短轴的两个端点，此时等价于椭圆的离心率等于$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$；当椭圆短轴的端点与两焦点的张角大于90°时，根据椭圆关于y轴对称这个的点P有两个．

解答：

解：当∠F$_1$为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点P有两个；

同理当∠F$_2$为直角时，这样的点P有两个；

由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，这里这个角恰好是直角，这时这样的点P也有两个．

故符合要求的点P有六个．

故选C．

点评：

根据△F$_1$PF$_2$中三个内角那个是直角进行分类讨论，数形结合、根据椭圆的对称性进行分析判断．

5单选题

已知M是椭圆$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)上一点，两焦点为F$_1$，F$_2$，点P是△MF$_1$F$_2$的内心，连接MP并延长交F$_1$F$_2$于N，则$\frac {|MP|}{|PN|}$的值为（　　）

$\frac {a}{$\sqrt {}$}$

$\frac {b}{$\sqrt {}$}$

$\frac {$\sqrt {}$}{b}$

$\frac {$\sqrt {}$}{a}$

题目答案

答案解析

分析：

由于三角形的内心是三个内角的平分线的交点，根据三角形内角平分线性质定理把所求的比值转化为三角形边长之间的比值关系来求解．

解答：

解：如图，连接PF$_1$，PF$_2$．在△MF$_1$P中，F$_1$P是∠MF$_1$N的角平分线，根据三角形内角平分线性质定理，$\frac {|MP|}{|PN|}$=$\frac {|MF$_1$|}{|F$_1$N|}$，

同理可得$\frac {|MP|}{|PN|}$=$\frac {|MF$_2$|}{|F$_2$N|}$，故有$\frac {|MP|}{|PN|}$=$\frac {|MF$_1$|}{|F$_1$N|}$=$\frac {|MF$_2$|}{|F$_2$N|}$，

根据等比定理$\frac {|MP|}{|PN|}$=$\frac {|MF$_1$|+|MF$_2$|}{|F$_1$N|+|F$_2$N|}$=$\frac {2a}{2$\sqrt {}$}$=$\frac {a}{$\sqrt {}$}$．

故选：A．

点评：

本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，试题在平面几何中的三角形内角平分线性质定理、初中代数中的等比定理和圆锥曲线的定义之间进行了充分的交汇，在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．

6填空题

已知M是椭圆$\frac {x}{9}$+$\frac {y}{5}$=1上一点，F$_1$，F$_2$是椭圆的两个焦点，I是△MF$_1$F$_2$的内心，延长MI交F$_1$F$_2$于N，则$\frac {|MI|}{|NI|}$等于．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {3}{2}$

答案解析

分析：

由于三角形的内心是三个内角的平分线的交点，根据三角形内角平分线性质定理把所求的比值转化为三角形边长之间的比值关系来求解．

解答：

解：如图，连接IF$_1$，IF$_2$．在△MF$_1$I中，F$_1$I是∠MF$_1$N的角平分线，

根据三角形内角平分线性质定理，$\frac {|MI|}{|NI|}$=$\frac {|MF$_1$|}{|F$_1$N|}$，同理可得$\frac {|MI|}{|NI|}$=$\frac {|MF$_2$|}{|F$_2$N|}$，

∴$\frac {|MI|}{|NI|}$=$\frac {|MF$_1$|}{|F$_1$N|}$=$\frac {|MF$_2$|}{|F$_2$N|}$；

根据等比定理$\frac {|MI|}{|NI|}$=$\frac {|MF$_1$|+|MF$_2$|}{|F$_1$N|+|F$_2$N|}$=$\frac {2a}{2c}$=$\frac {2×3}{2×$\sqrt {9-5}$}$=$\frac {3}{2}$．

故答案为：$\frac {3}{2}$．

点评：

7单选题

椭圆$\frac {x}{9}$+$\frac {y}{4}$=1的焦点F$_1$、F$_2$，点P为其上的动点，当∠F$_1$PF$_2$为钝角时，点P横坐标的取值范围是( )

-$\frac {3}{$\sqrt {2}$}$＜x＜$\frac {3}{$\sqrt {5}$}$

-$\frac {3}{$\sqrt {2}$}$＜x＜$\frac {3}{$\sqrt {2}$}$

-$\frac {3}{$\sqrt {5}$}$＜x＜$\frac {3}{$\sqrt {2}$}$

-$\frac {3$\sqrt {5}$}{5}$＜x＜$\frac {3$\sqrt {5}$}{5}$

题目答案

答案解析

分析：

设p(x，y)，根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F$_1$PF$_2$是钝角推断出PF$_2$_+PF$_2$_＜F$_1$F$_2$_代入p坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围．

解答：

解：如图，

设p(x，y)，则F$_1$(-$\sqrt {5}$，0)，F$_2$($\sqrt {5}$，0)，

且∠F$_1$PF$_2$是钝角

⇔P$_1$+P$_2$＜F$_1$$_2$⇔(x+$\sqrt {5}$)_+y+(x-$\sqrt {5}$)_+y_＜20

⇔x+5+y_＜10

⇔x+4(1-$\frac {x}{9}$)＜5

⇔x_＜$\frac {9}{5}$⇔-$\frac {3$\sqrt {5}$}{5}$＜x＜$\frac {3$\sqrt {5}$}{5}$．

故答案为：-$\frac {3}{$\sqrt {5}$}$＜x＜$\frac {3}{$\sqrt {5}$}$

点评：

本题主要考查了椭圆的简单性质和解不等式．属基础题．

8单选题

设F$_1$，F$_2$是椭圆$\frac {4x}{49}$+$\frac {y}{6}$=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF$_1$|：|PF$_2$|=4：3，则△PF$_1$F$_2$的面积为（　　）

4$\sqrt {2}$

2$\sqrt {2}$

题目答案

答案解析

分析：

由题意能够推导出△PF$_1$F$_2$是直角三角形，其面积=$\frac {1}{2}$×|PF$_1$| ×|PF$_2$|．

解答：

解：∵|PF$_1$|：|PF$_2$|=4：3，

∴可设|PF$_1$|=4k，|PF$_2$|=3k，

由题意可知3k+4k=7，

∴k=1，

∴|PF$_1$|=4，|PF$_2$|=3，

∵|F$_1$F$_2$|=5，

∴△PF$_1$F$_2$是直角三角形，

其面积=$\frac {1}{2}$×|PF$_1$| ×|PF$_2$|=$\frac {1}{2}$× 3×4=6．

故选D．

点评：

本题考查椭圆的性质，判断出△PF$_1$F$_2$是直角三角形能够简化运算．

9填空题

椭圆$\frac {x}{9}$+$\frac {y}{2}$=1的焦点为F$_1$，F$_2$，点P在椭圆上，若|PF$_1$|=4，∠F$_1$PF$_2$的大小为°．

填空题答案仅供参考

题目答案

120

答案解析

分析：

由|PF$_1$|+|PF$_2$|=6，且|PF$_1$|=4，易得|PF$_2$|，再利用余弦定理，即可求得结论．

解答：

解：∵|PF$_1$|+|PF$_2$|=2a=6，|PF$_1$|=4，

∴|PF$_2$|=6-|PF$_1$|=2．

在△F$_1$PF$_2$中，cos∠F$_1$PF$_2$=$\frac {16+4-28}{2×4×2}$=-$\frac {1}{2}$，

∴∠F$_1$PF$_2$=120°．

故答案为：120°

点评：

本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．

10单选题

若点P在椭圆$\frac {x}{2}$+y_=1上，F$_1$、F$_2$分别是椭圆的两焦点，且∠F$_1$PF$_2$=90°，则△F$_1$PF$_2$的面积是（　　）

$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

$\frac {1}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

由椭圆的定义可得 m+n=2a=2$\sqrt {2}$①，Rt△F$_1$PF$_2$中，由勾股定理可得m_+n_=4②，由①②可得m•n的值，利用△F$_1$PF$_2$的面积是$\frac {1}{2}$m•n求得结果．

解答：

解：由椭圆的方程可得 a=$\sqrt {2}$，b=1，c=1，令|F$_1$P|=m、|PF$_2$|=n，

由椭圆的定义可得 m+n=2a=2$\sqrt {2}$ ①，Rt△F$_1$PF$_2$ 中，

由勾股定理可得(2c)_=m_+n_，m_+n_=4②，由①②可得m•n=2，

∴△F$_1$PF$_2$的面积是$\frac {1}{2}$m•n=1，

故选B．

点评：

本题考查椭圆的简单性质和定义，以及勾股定理的应用．

11单选题

已知F$_1$，F$_2$是椭圆$\frac {x}{4}$+$\frac {y}{2}$=1的两个焦点，P是椭圆上的点，若$\xrightarrow[""]{PF$_1$}$•$\xrightarrow[""]{PF$_2$}$=0，则这样的点P有（　　）

2个

4个

6个

0个

题目答案

答案解析

分析：

由$\xrightarrow[""]{PF$_1$}$•$\xrightarrow[""]{PF$_2$}$=0，可得PF$_1$⊥PF$_2$，再利用椭圆的定义及勾股定理求解．

解答：

解：由题意，PF$_1$⊥PF$_2$，设PF$_1$=m，PF$_2$=n，所以$\left\{\begin{matrix}m+n=4 \ m_+n_=8 \ \end{matrix}\right.$，即n_-4n+4=0，∴n=2，故选A．

点评：

本题主要考查椭圆定义的应用，及向量知识的等价转化，考查勾股定理得运用，属于基础题．

12单选题

已知F$_1$，F$_2$为椭圆焦点，在椭圆上满足∠F$_1$PF$_2$为直角的P点仅有两个，则离心率为（　　）

$\sqrt {2}$

$\frac {1}{2}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

根据题意，画出图形，结合图形，容易解答出问题来．

解答：

解：根据题意，画出图形，如图所示；

∵∠F$_1$PF$_2$为直角，

∴b=c，

∴a=$\sqrt {2}$c；

∴离心率e=$\frac {c}{a}$=$\frac {c}{$\sqrt {2}$c}$=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$．

故选：C．

点评：

本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，解题时应根据题意，画出图形，结合图形来解答问题，是基础题．

13填空题

椭圆$\frac {x}{25}$+$\frac {y}{9}$=1的焦点F$_1$、F$_2$，P为椭圆上的一点，已知PF$_1$⊥PF$_2$，则△F$_1$PF$_2$的面积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

根据椭圆的定义，PF$_1$+PF$_2$=2a=10，∵PF$_1$⊥PF$_2$，由勾股定理得，PF$_1$_+PF$_2$_=F$_1$F$_2$_=4c_=4×(25-9)=64

_PF$_1$×PF$_2$，面积可求．

解答：

解：根据椭圆的定义，PF$_1$+PF$_2$=2a=10 ①

∵PF$_1$⊥PF$_2$，由勾股定理得，PF$_1$_+PF$_2$_=F$_1$F$_2$_=4c_=4×(25-9)=64 ②

①_-②得2PF$_1$×PF$_2$=100-64=36

∴S_△F$_1$PF$_2$=$\frac {1}{2}$PF$_1$×PF$_2$=$\frac {1}{2}$×18=9

故答案为：9．

点评：

本题考查椭圆的定义，标准方程，几何性质．考查分析解决问题、计算能力．

14单选题

已知椭圆$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)的焦点分别为F$$_1$$，F$$_2$$，若该椭圆上存在一点P使得∠F$$_1$$PF$$_2$$=60°，则椭圆离心率的取值范围是( )

[$\frac {1}{2}$，1)

($\frac {1}{2}$，1)

(0，$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$)

(0，$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$]

题目答案

答案解析

分析：

当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F$_1$PF$_2$渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P_0处时，张角∠F$_1$PF$_2$达到最大值，由此可得结论．

解答：

解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F$_1$PF$_2$渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P_0处时，张角∠F$_1$PF$_2$达到最大值．由此可得：

∵存在点P为椭圆上一点，使得∠F$_1$PF$_2$=60°，

∴△P_0F$_1$F$_2$中，∠F$_1$P_0F$_2$≥60°，

∴Rt△P_0OF$_2$中，∠OP_0F$_2$≥30°，

所以P_0O≤$\sqrt {3}$OF$_2$，即b≤$\sqrt {3}$c，

∴a_-c_≤3c_，可得a_≤4c_，

∴$\frac {c}{a}$≥$\frac {1}{2}$，

∵0＜e＜1，

∴$\frac {1}{2}$≤e＜1．

故答案为：$\frac {1}{2}$≤e＜1，所以选A．

点评：

本题考查了直角三角形的三角函数和椭圆的简单几何性质等知识点，考查数形结合的数学思想，属于中档题．

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《椭圆的焦点三角形》椭圆的焦点三角形

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