《抛物线的标准方程》抛物线的标准方程

1单选题

抛物线y²=4x经过点P(3，m)，则点P到抛物线焦点的距离等于（　　）

$\frac {9}{4}$

$\frac {13}{4}$

题目答案

答案解析

分析：

先根据抛物线的方程求出其准线方程，再由抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离可求得答案．

解答：

解：y²=4x的准线方程为x=-1，则点P到它的距离为3+1=4，故选B．

点评：

本题主要考查抛物线的性质，即抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离．

2单选题

抛物线y_=4x的焦点到双曲线x-$\frac {y}{3}$=1的渐近线的距离是（　　）

$\frac {1}{2}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

$\sqrt {3}$

题目答案

答案解析

分析：

根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F(1，0)．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=±$\sqrt {3}$x，化成一般式得：$\sqrt {3}$x±y=0，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．

解答：

解：∵抛物线方程为y_=4x

∴2p=4，可得$\frac {p}{2}$=1，抛物线的焦点F(1，0)

又∵双曲线的方程为x-$\frac {y}{3}$=1

∴a_=1且b_=3，可得a=1且b=$\sqrt {3}$，

双曲线的渐近线方程为y=±$\frac {b}{a}$x，即y=±$\sqrt {3}$x，

化成一般式得：$\sqrt {3}$x±y=0．

因此，抛物线y_=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d=$\frac {|$\sqrt {3}$×1±0|}{$\sqrt {3+1}$}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

故选：B

点评：

本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．

3单选题

在直角坐标系xOy中．直线l过抛物线y_=4x的焦点F．且与该抛物线相交于A、B两点．其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°．则△OAF的面积为( )

3$\sqrt {3}$

2$\sqrt {3}$

$\sqrt {3}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

确定直线l的方程，代入抛物线方程，确定A的坐标，从而可求△OAF的面积．

解答：

解：抛物线y_=4x的焦点F的坐标为(1，0)

∵直线l过F，倾斜角为60°

∴直线l的方程为：y=$\sqrt {3}$(x-1)，即x=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$y+1

代入抛物线方程，化简可得y-$\frac {4$\sqrt {3}$}{3}$y-4=0

∴y=2$\sqrt {3}$，或y=-$\frac {2}{3}$$\sqrt {3}$

∵A在x轴上方，

∴A的纵坐标为2$\sqrt {3}$

∴△OAF的面积为$\frac {1}{2}$×1×2$\sqrt {3}$=$\sqrt {3}$

故答案为：C．

点评：

本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，确定A的坐标是解题的关键．

4单选题

设抛物线y_=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为-$\sqrt {3}$，那么|PF|=（　　）

4$\sqrt {3}$

8$\sqrt {3}$

题目答案

答案解析

分析：

先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而根据直线AF的斜率为-$\sqrt {3}$求出直线AF的方程，然后联立准线和直线AF的方程可得点A的坐标，得到点P的坐标，根据抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等可得到答案．

解答：

解：抛物线的焦点F(2，0)，准线方程为x=-2，直线AF的方程为y=-$\sqrt {3}$(x-2)，

所以点A(-2，4$\sqrt {3}$)、P(6，4$\sqrt {3}$)，从而|PF|=6+2=8

故选B．

点评：

本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想．

5单选题

抛物线y_=4x的焦点坐标是（　　）

(4，0)

(2，0)

(1，0)

($\frac {1}{2}$，0)

题目答案

答案解析

分析：

先根据抛物线y_=4x的方程求出p的值，进而得到抛物线的焦点坐标．

解答：

解：∵2p=4⇒p=2，∴$\frac {p}{2}$=1，∴抛物线y_=4x的焦点是(1，0)，

故选C；

点评：

本题主要考查抛物线的简单性质．属基础题．

6单选题

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是( )

y_=6x

y_=8x

x_=8y

x_=6y

题目答案

答案解析

分析：

先设出抛物线的标准方程，把点P的坐标代入求得p，则抛物线的方程可得．

解答：

解：设所求抛物线方程为y_=px，

依题意4_=2p

∴p=8，

故所求为y_=8x．

故答案为：y_=8x，所以选B．

点评：

本题主要考查了抛物线的标准方程．一般是利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，挖掘题意信息求得系数p的值．

7单选题

连接抛物线x_=4y的焦点F与点M(1，0)所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为（　　）

-1+$\sqrt {2}$

$\frac {3}{2}$-$\sqrt {2}$

1+$\sqrt {2}$

$\frac {3}{2}$+$\sqrt {2}$

题目答案

答案解析

分析：

先求出直线FM的方程，然后与抛物线方程联立方程组解得点A的纵坐标，最后利用三角形面积公式求解．

解答：

解：抛物线x_=4y的焦点F为(0，1)且M(1，0)，

所以直线FM所在的直线方程为x+y=1，

与抛物线方程联立有$\left\{\begin{matrix}x+y=1 \ x_=4y \ \end{matrix}\right.$，

解得y$_1$=3-2$\sqrt {2}$，y$_2$=3+2$\sqrt {2}$，

因为点A是线段FM与抛物线x_=4y的交点，所以点A的纵坐标为3-2$\sqrt {2}$，

所以S_△OAM=$\frac {1}{2}$× 1×(3-2$\sqrt {2}$)=$\frac {3}{2}$-$\sqrt {2}$．

故选B．

点评：

本题主要考查代数法研究形，同时考查抛物线焦点坐标、直线方程等知识点．

8填空题

在平面直角坐标系xoy中，若抛物线y_=4x上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标x=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|PF|=6，则P到准线的距离也为6，即x+$\frac {p}{2}$=6，将p的值代入，进而求出x．

解答：

解：∵抛物线y_=4x=2px，

∴p=2，

由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，

∴|PF|=x+$\frac {p}{2}$=6，

∴x=5，

故答案为：5．

点评：

活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．

9单选题

双曲线$\frac {x}{m}$-$\frac {y}{n}$=1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y_=4x的焦点重合，则mn的值为（　　）

$\frac {3}{16}$

$\frac {3}{8}$

$\frac {16}{3}$

$\frac {8}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

先根据抛物线方程求得抛物线的焦点，进而可知双曲线的焦距，根据双曲线的离心率求得m，最后根据m+n=1求得n，则答案可得．

解答：

解：抛物线y_=4x的焦点为(1，0)，则双曲线的焦距为2，

则有$\left\{\begin{matrix}m+n=1 \ $\frac {1}{m}$=4 \ \end{matrix}\right.$解得m=$\frac {1}{4}$，n=$\frac {3}{4}$

∴mn=$\frac {3}{16}$

故选A

点评：

本题主要考查了圆锥曲线的共同特这．解题的关键是对圆锥曲线的基本性质能熟练掌握．

10单选题

经过抛物线y_=4x的焦点且垂直于直线3x-2y=0的直线l的方程是（　　）

3x-2y-3=0

6x-4y-3=0

2x+3y-2=0

2x+3y-1=0

题目答案

答案解析

分析：

设出垂线方程，求出焦点坐标，然后求解即可．

解答：

解：设垂直于直线3x-2y=0的直线l的方程为2x+3y+c=0，

由于直线l经过抛物线y_=4x的焦点为F(1，0)，

所以c=-2．

故选C．

点评：

本题考查抛物线的基本性质，直线方程的应用，考查计算能力．

11单选题

抛物线y_=4x图象上与其准线的距离为5的点的坐标为（　　）

(4，±4)

(3，±2$\sqrt {3}$)

(2，±2$\sqrt {2}$)

(1，±2)

题目答案

答案解析

分析：

抛物线y_=4x的准线方程为x=-1，设抛物线y_=4x图象上与其准线的距离为5的点的坐标为P(x_0，y_0)，依题意知，x_0-(-1)=5，从而可得答案．

解答：

解：设抛物线y_=4x图象上与其准线的距离为5的点的坐标为P(x_0，y_0)，

∵抛物线y_=4x的准线方程为x=-1，

∴x_0-(-1)=5，

∴x_0=4，

∴y_0_=4×4=16，

∴y_0=±4．

∴点P的坐标为：(4，±4)．

故选：A．

点评：

本题考查抛物线的简单性质，求得抛物线y_=4x的准线方程是关键，属于中档题．

12填空题

已知抛物线y_=-8x的准线过双曲线$\frac {x}{m}$-$\frac {y}{3}$=1的右焦点，则双曲线的离心率为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

抛物线y_=-8x的准线为 x=2，故有c_=m+3=4，求得c值，即得双曲线的离心率的值．

解答：

解：抛物线的焦点坐标为(-2，0))，准线方程为x=2．

则c=2．所以c_=m+3=4，解得m=1，

所以双曲线的离心率为e=$\frac {c}{a}$=2，

故答案为：2．

点评：

本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到c_=m+3=4，求出c值，是解题的关键．

13单选题

抛物线y=2x_的准线方程是（　　）

x=-$\frac {1}{2}$

y=-$\frac {1}{2}$

x=-$\frac {1}{8}$

y=-$\frac {1}{8}$

题目答案

答案解析

分析：

将抛物线方程化为标准方程，确定焦点的位置，从而可求抛物线y=2x_的准线方程．

解答：

解：抛物线y=2x_可化为x_=$\frac {1}{2}$y，焦点在y轴上，2p=$\frac {1}{2}$，

∴$\frac {p}{2}$=$\frac {1}{8}$

∴抛物线y=2x_的准线方程是y=-$\frac {1}{8}$

故选D．

点评：

本题考查抛物线的标准方程与几何性质，解题的关键是将方程化为标准方程，属于基础题．

14填空题

已知离心率为$\frac {3$\sqrt {5}$}{5}$的双曲线C：$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{4}$=1(a＞0)的右焦点与抛物线y_=4mx的焦点重合，则实数m=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

先由双曲线的离心率求出a_的值，由此得到双曲线的右焦点，再求出抛物线y_=4mx的焦点坐标，从而求出实数m．

解答：

解：∵双曲线C：$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{4}$=1的离心率为$\frac {3$\sqrt {5}$}{5}$

∵e_=1+$\frac {b}{a}$，e=$\frac {3$\sqrt {5}$}{5}$，b_=4

∴a_=5，

∴c=$\sqrt {}$=3，

∴双曲线C：$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{4}$=1(a＞0)的右焦点(3，0)，

∵抛物线y_=4mx的焦点(m，0)，

又双曲线C：$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{4}$=1(a＞0)的右焦点与抛物线y_=4mx的焦点重合，

∴m=3

故答案为：3

点评：

本题考查抛物线的简单性质、双曲线的性质和应用，考查了学生对基础知识的综合把握能力，属于基础题．

15单选题

若抛物线y²=2px的焦点为(2，0)，则p的值为（　　）

-2

-4

题目答案

答案解析

分析：

由抛物线的焦点坐标可得$\frac {p}{2}$=2，解方程可得．

解答：

解：∵由已知可知抛物线焦点为(2，0)，又可知抛物线y_=2px的焦点坐标为($\frac {p}{2}$，0)，∴$\frac {p}{2}$=2，解得p=4故选C

点评：

本题考查抛物线的简单性质，涉及抛物线的焦点坐标的求解，属基础题．

16填空题

已知抛物线C的顶点在原点，焦点在y轴上，且经过点(-1，4)，则抛物线的准线方程为y=．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {1}{16}$

答案解析

分析：

设出抛物线方程，利用经过点(-1，4)，求出抛物线中的参数，即可得到抛物线方程从而得出抛物线的准线方程．

解答：

点评：

本题是基础题，考查抛物线的标准方程的求法，注意标准方程的形式，是易错题，考查计算能力．

17单选题

设抛物线y_=px的焦点与椭圆$\frac {x}{6}$+$\frac {y}{2}$=1的右焦点重合，则p的值为（　　）

-4

-8

题目答案

答案解析

分析：

先根据标准方程确定椭圆的右焦点坐标，抛物线的焦点坐标，利用抛物线y_=px的焦点与椭圆$\frac {x}{6}$+$\frac {y}{2}$=1的右焦点重合，即可得出结论．

解答：

解：由题意，椭圆$\frac {x}{6}$+$\frac {y}{2}$=1的右焦点为(2，0)

∵抛物线y_=px的焦点为($\frac {p}{4}$，0)，抛物线y_=px的焦点与椭圆$\frac {x}{6}$+$\frac {y}{2}$=1的右焦点重合

∴$\frac {p}{4}$=2

∴p=8

故选D．

点评：

本题以抛物线、椭圆的标准方程为载体，考查焦点坐标，正确求出焦点坐标是解题的关键．

18单选题

抛物线y=4x_的准线方程为（　　）

y=-$\frac {1}{4}$

y=$\frac {1}{8}$

y=$\frac {1}{16}$

y=-$\frac {1}{16}$

题目答案

答案解析

分析：

先将抛物线化简为标准形式，进而可确定p的值，即可得到准线方程．

解答：

解：由x_=$\frac {1}{4}$y，∴p=$\frac {1}{8}$．准线方程为y=-$\frac {1}{16}$．

故选D

点评：

本题主要考查抛物线的基本性质．属基础题．

19单选题

抛物线y=-$\frac {1}{8}$x_的准线方程是（　　）

x=$\frac {1}{32}$

y=2

y=$\frac {1}{32}$

y=-2

题目答案

答案解析

分析：

先把抛物线y=-$\frac {1}{8}$x_转换为标准方程x_=-8y，然后再求其准线方程．

解答：

解：∵y=-$\frac {1}{8}$x_，

∴x_=-8y，

∴其准线方程是y=2．

故选B．

点评：

本题考查抛物线的基本性质，解题时要认真审题，仔细求解．

20单选题

已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，则它的标准方程为（　　）

y_=8x

y_=-8x

x_=8y

x_=-8y

题目答案

答案解析

分析：

先设出抛物线的方程，根据焦点坐标求得p，则抛物线方程可得．

解答：

解：依题意可知焦点在y轴，设抛物线方程为x_=2py

∵焦点坐标是F(0，-2)，

∴$\frac {p}{2}$=-2，p=-4

故抛物线方程为x_=-8y．

故选D．

点评：

本题主要考查了抛物线的标准方程．解题的时候注意抛物线的焦点在x轴还是在y轴．

21单选题

已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，若抛物线上一点M(1，m)到焦点距离为2，则抛物线的标准方程是( )

y_=4x

y_=8x

x_=8y

x_=4y

题目答案

答案解析

分析：

先确定抛物线的焦点一定在x轴正半轴上，故可设出抛物线的标准方程，再由抛物线的定义，点M到焦点的距离等于到准线的距离，即可求得抛物线方程．

解答：

解：∵抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，其上一点M(1，m)

∴设抛物线方程为y_=2px(p＞0)

∵抛物线上一点M(1，m)到焦点距离为2，

∴1+$\frac {p}{2}$=2，

∴p=2，

∴抛物线方程为y_=4x．

故答案为：y_=4x，所以选A．

点评：

本题考查抛物线的定义，抛物线的标准方程及其求法，利用定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是解决本题的关键．

22单选题

以双曲线$\frac {x}{3}$-y_=1的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程是（　　）

y_=4x

y_=-4x

y_=-4$\sqrt {2}$x

y_=-8x

题目答案

答案解析

分析：

根据双曲线方程，算出它的左焦点为F(-2，0)，也是抛物线的焦点．由此设出抛物线方程为y_=-2px，(p＞0)，结合抛物线焦点坐标的公式，可得p=4，从而得出该抛物线的标准方程．

解答：

解：∵双曲线的方程为$\frac {x}{3}$-y_=1

∴a_=3，b_=1，得c=$\sqrt {}$=2，

∴双曲线的左焦点为F(-2，0)，也是抛物线的焦点

设抛物线方程为y_=-2px，(p＞0)，则$\frac {p}{2}$=2，得2p=8

∴抛物线方程是y_=-8x

故选：D

点评：

本题给出抛物线焦点与已知双曲线的左焦点重合，求抛物线的标准方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．

23单选题

如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，则拱桥内水面的宽度为( )

6$\sqrt {2}$

6$\sqrt {3}$

$\sqrt {3}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

先根据题目条件建立直角坐标系，设出抛物线的方程，然后利用点在曲线上，确定方程，求得点的坐标，也就得到水面的宽．

解答：

解：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系

设抛物线x_=-2py，由题意可知抛物线过点(6，-2)．

点(6，-2)代入，得6_=4p，解得p=9，则x_=-18y．y=-1代入，求得x=3$\sqrt {2}$，

所以水面宽6$\sqrt {2}$米．

故答案为：A．

点评：

本题考查抛物线的应用以及待定系数法求方程，注意点在曲线上的条件的应用，是个基础题．

读趣百科

《抛物线的标准方程》抛物线的标准方程

1单选题

题目答案

您的答案

答案解析

2单选题

题目答案

您的答案

答案解析

3单选题

题目答案

您的答案

答案解析

4单选题

题目答案

您的答案

答案解析

5单选题

题目答案

您的答案

答案解析

6单选题

题目答案

您的答案

答案解析

7单选题

题目答案

您的答案

答案解析

8填空题

题目答案

您的答案

答案解析

9单选题

题目答案

您的答案

答案解析

10单选题

题目答案

您的答案

答案解析

11单选题

题目答案

您的答案

答案解析

12填空题

题目答案

您的答案

答案解析

13单选题

题目答案

您的答案

答案解析

14填空题

题目答案

您的答案

答案解析

15单选题

题目答案

您的答案

答案解析

16填空题

题目答案

您的答案

答案解析

17单选题

题目答案

您的答案

答案解析

18单选题

题目答案

您的答案

答案解析

19单选题

题目答案

您的答案

答案解析

20单选题

题目答案