《双曲线的渐近线》双曲线的渐近线

1单选题

双曲线C：$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为$\sqrt {3}$，则C的焦距等于（　　）

2$\sqrt {2}$

4$\sqrt {2}$

题目答案

答案解析

分析：

根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．

解答：

解：∵：$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1(a＞0，b＞0)的离心率为2，

∴e=$\frac {c}{a}$=2，双曲线的渐近线方程为y=±$\frac {b}{a}$x，不妨取y=$\frac {b}{a}$x，即bx-ay=0，

则c=2a，b=$\sqrt {}$=$\sqrt {3}$a，

∵焦点F(c，0)到渐近线bx-ay=0的距离为$\sqrt {3}$，

∴d=$\frac {bc}{$\sqrt {}$}$=$\sqrt {3}$，

即$\frac {$\sqrt {3}$a•c}{$\sqrt {}$}$=$\frac {$\sqrt {3}$ac}{2a}$=$\frac {$\sqrt {3}$c}{2}$=$\sqrt {3}$，

解得c=2，

则焦距为2c=4，

故选：C

点评：

本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．

2单选题

设O为坐标原点，F$_1$，F$_2$是双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1(a＞0，b＞0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F$_1$PF$_2$=60°，|OP|=$\sqrt {7}$a，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

x±$\sqrt {3}$y=0

$\sqrt {3}$x±y=0

x±$\sqrt {2}$y=0

$\sqrt {2}$x±y=0

题目答案

答案解析

分析：

假设|F$_1$P|=x，进而分别根据中线定理和余弦定理建立等式求得c_+5a_=14a_-2c_，求得a和c的关系，进而根据b=$\sqrt {}$求得a和的关系进而求得渐近线的方程．

解答：

解：假设|F$_1$P|=x

OP为三角形F$_1$F$_2$P的中线，

根据三角形中线定理可知

x+(2a+x)_=2(c_+7a_)

整理得x(x+2a)=c_+5a_

由余弦定理可知

x+(2a+x)_-x(2a+x)=4c_

整理得x(x+2a)=14a_-2c_

进而可知c_+5a_=14a_-2c_

求得3a_=c_

∴c=$\sqrt {3}$a

b=$\sqrt {2}$a

那么渐近线为y=±$\sqrt {2}$x，即$\sqrt {2}$x±y=0

故选D

点评：

本题将解析几何与三角知识相结合，主要考查了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题

3单选题

设F$_1$、F$_2$分别为双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF$_2$|=|F$_1$F$_2$|，且F$_2$到直线PF$_1$的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

3x±4y=0

3x±5y=0

4x±3y=0

5x±4y=0

题目答案

答案解析

分析：

利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，

解答：

解：依题意|PF$_2$|=|F$_1$F$_2$|，可知三角形PF$_2$F$_1$是一个等腰三角形，F$_2$在直线PF$_1$的投影是其中点，由勾股定理知

可知|PF$_1$|=2$\sqrt {}$=4b

根据双曲定义可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c_=a_+b_整理得3b_-4ab=0，求得$\frac {b}{a}$=$\frac {4}{3}$

∴双曲线渐近线方程为y=±$\frac {4}{3}$x，即4x±3y=0

故选C

点评：

本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题

4单选题

双曲线$\frac {x}{6}$-$\frac {y}{3}$=1的渐近线与圆(x-3)_+y_=r_(r＞0)相切，则r=（　　）

$\sqrt {3}$

题目答案

答案解析

分析：

求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r．

解答：

解：双曲线的渐近线方程为y=±$\frac {1}{$\sqrt {2}$}$x，即x±$\sqrt {2}$y=0，

圆心(3，0)到直线的距离d=$\frac {|3|}{$\sqrt {}$}$=$\sqrt {3}$，

∴r=$\sqrt {3}$．

故选A．

点评：

本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式．

5填空题

设双曲线$\frac {x^{2}}{9}$-$\frac {y^{2}}{16}$=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {32}{15}$

答案解析

分析：

根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=$\frac {4}{3}$(x-5)，代入双曲线方程解得B的坐标，计算可得答案．

解答：

解：a²=9，b²=16，故c=5，∴A(3，0)，F(5，0)，不妨设BF的方程为y=$\frac {4}{3}$(x-5)，代入双曲线方程解得：B($\frac {17}{5}$，-$\frac {32}{15}$)．∴S_△AFB=$\frac {1}{2}$|AF|•|y_B|=$\frac {1}{2}$×2×$\frac {32}{15}$=$\frac {32}{15}$．故答案为：$\frac {32}{15}$．

点评：

本题考查双曲线方程的运用，注意关键在于求出B的坐标；解此类三角形面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算．

6单选题

已知双曲线9y-m_x_=1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为$\frac {1}{5}$，则m=（　　）

题目答案

答案解析

分析：

由双曲线9y-m_x_=1(m＞0)可得a=$\frac {1}{3}$，b=$\frac {1}{m}$，顶点(0，$\frac {1}{3}$)，一条渐近线为mx-3y=0，再由点到直线的距离公式根据一个顶点到它的一条渐近线的距离为$\frac {1}{5}$可以求出m．

解答：

解：9y-m_x_=1(m＞0)⇒a=$\frac {1}{3}$，b=$\frac {1}{m}$，

取顶点(0，$\frac {1}{3}$)，一条渐近线为mx-3y=0，

∵$\frac {1}{5}$=$\frac {|-3×$\frac {1}{3}$|}{$\sqrt {}$}$⇒m_+9=25∴m=4.

故选D．

点评：

本小题主要考查双曲线的知识，解题时要注意恰当选取公式．

7单选题

已知双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y=±$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为( )

$\frac {x}{4}$-y_=1

$\frac {x}{3}$-y_=1

$\frac {x}{4}$-$\frac {3y}{4}$=1

x-$\frac {y}{2}$=1

题目答案

答案解析

分析：

由渐近线方程得到双曲线的实半轴、虚半轴之间的关系，再由顶点到渐近线的距离为1，求出实半轴、虚半轴的长，

进而写出双曲线方程．

解答：

解：双曲线的焦点在x轴上，∵两条渐近线方程为y=±$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$x，

∴$\frac {b}{a}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$，

其中一个顶点的坐标(a，0)，

此顶点到渐近线$\sqrt {3}$x-3y=0 的距离为：$\frac {a}{2}$=1，∴a=2，∴b=$\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$，

∴所求双曲线的方程为：$\frac {x}{4}$-$\frac {3y}{4}$=1，所以选C．

点评：

本题考查双曲线的标准方程和性质，求出a和b的值，是解题的关键，属于中档题．

8单选题

已知双曲线标准方程为：$\frac {x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1(a＞0，b＞0)，一条渐近线方程为y=x，点P(2，1)在双曲线的右支上，则a的值为（　　）

$\sqrt {3}$

题目答案

答案解析

分析：

由渐近线方程为y=x，推导出a=b，再把P(2，1)代入双曲线方程，能求出a的值．

解答：

点评：

本题考查双曲线的标准方程的求法及其应用，是基础题，解题时要注意等轴双曲线的性质的灵活运用．

9单选题

已知中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线C经过椭圆$\frac {x}{9}$+$\frac {y}{5}$=1的焦点且双曲线C的焦点到其渐近线的距离为1，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

y=±2x

y=±$\frac {1}{2}$x

y=±x

y=±$\sqrt {2}$x

题目答案

答案解析

分析：

求出椭圆$\frac {x}{9}$+$\frac {y}{5}$=1的焦点坐标，可得双曲线的顶点坐标，利用双曲线C的焦点到其渐近线的距离为1，求出a，从而可求该双曲线的渐近线方程．

解答：

解：由题意，椭圆$\frac {x}{9}$+$\frac {y}{5}$=1的焦点坐标为(±2，0)，

∵中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线C经过椭圆$\frac {x}{9}$+$\frac {y}{5}$=1的焦点，

∴双曲线的顶点坐标为(±2，0)，

设双曲线的焦点坐标为(±c，0)，渐近线方程为y=±$\frac {b}{a}$x，即bx±ay=0．

∴焦点到其渐近线的距离为$\frac {bc}{$\sqrt {}$}$=b=1，

∵a=2，

∴双曲线的渐近线方程为y=±$\frac {b}{a}$x=±$\frac {1}{2}$x．

故选B．

点评：

本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．

10单选题

已知双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1左、右焦点分别为F$_1$，F$_2$，过点F$_2$作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF$_1$F$_2$=$\frac {π}{6}$，则双曲线的渐近线方程为( )

x±$\sqrt {3}$y=0

$\sqrt {3}$x±y=0

x±$\sqrt {2}$y=0

$\sqrt {2}$x±y=0

题目答案

答案解析

分析：

先求出|PF$_2$|的值，Rt△PF$_1$F$_2$ 中，由tan∠PF$_1$F$_2$ =$\frac {pF$_2$}{F$_1$F$_2$}$=tan$\frac {π}{6}$，求出$\frac {b}{a}$的值，进而得到渐近线方程．

解答：

解：把 x=c 代入双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1 可得|y|=|PF$_2$|=$\frac {b}{a}$，

Rt△PF$_1$F$_2$中，tan∠PF$_1$F$_2$ =$\frac {pF$_2$}{F$_1$F$_2$}$=$\frac {b}{2ac}$=$\frac {b}{2a$\sqrt {}$}$=tan$\frac {π}{6}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$，

∴$\frac {b}{a}$=$\sqrt {2}$，

∴渐近线方程为y=±$\frac {b}{a}$x=±$\sqrt {2}$x，

故答案为 y=±$\sqrt {2}$x，所以选D．

点评：

本题考查双曲线的简单性质的应用，直角三角形中的边角关系，求$\frac {b}{a}$的值是解题的关键．

11单选题

双曲线x-y_=1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点(异于顶点)，则直线PF的斜率的变化范围是（　　）

(-∞，0)

(1，+∞)

(-∞，0)∪(1，+∞)

(-∞，-1)∪(1，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

当点P向双曲线左下方无限移动时，直线PF逐渐与渐近线平行，但是永不平行，所以倾斜角大于45°；当点P逐渐靠近顶点时，倾斜角逐渐增大，但是小于180°．由此可知直线PF的斜率的变化范围(-∞，0)∪(1，+∞)．

解答：

解：由题意条件知双曲线的渐近线倾斜角为45°，

当点P向双曲线左下方无限移动时，直线PF逐渐与渐近线平行，但是永不平行，所以倾斜角大于45°；

当点P逐渐靠近顶点时，倾斜角逐渐增大，但是小于180°．

所以直线PF的倾斜角的范围是(45°，180°)．

由此可知直线PF的斜率的变化范围(-∞，0)∪(1，+∞)．

故选C．

点评：

本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

12单选题

如图，F$_1$、F$_2$是双曲线C：$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1(a＞0，b＞0)的左右焦点，过F$_1$的直线与的左、右两支分别交于B，A两点．若△ABF$_2$为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为(　　)

y=±$\sqrt {15}$x

y=±$\sqrt {6}$x

y=±$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$x

y=±$\sqrt {2}$x

题目答案

答案解析

分析：

根据双曲线的定义算出△AF$_1$F$_2$中，|AF$_1$|=4a，|AF$_2$|=2a，由∠F$_1$AF$_2$=120°，利用余弦定理求解．

解答：

解：设|AB|=m，|BF$_1$|=n；

∵△AF$_1$F$_2$为等边三角形；

∴|AB|=|AF$_2$|=|BF$_2$|=m；

根据双曲线定义可得：

$\left\{\begin{matrix}m-n=2a \ m+n-m=2a \ \end{matrix}\right.$

解得：m=4a，n=2a；

在△BF$_1$F$_2$中，∠F$_1$BF$_2$=120°，|F$_1$F$_2$|=2c；

∴cos120°=$\frac {m_+n_-|F$_1$F$_2$|}{2mn}$

即-$\frac {1}{2}$=$\frac {(4a)_+(2a)_-(2c)}{2·4a·2a}$

所以c_=7a_

∴b_=6a_

∴渐近线方程为y=±$\frac {b}{a}$x=±$\sqrt {6}$x，

故选：B

点评：

本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键．

13单选题

设F$_1$、F$_2$分别为双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足PF$_2$=F$_1$F$_2$，且F$_2$到直线PF$_1$的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )

3x±2y=0

2x±3y=0

4x±3y=0

3x±4y=0

题目答案

答案解析

分析：

过F$_2$点作F$_2$Q⊥PF$_1$于Q点，得△PF$_1$F$_2$中，PF$_2$=F$_1$F$_2$=2c，高F$_2$Q=2a，PQ=$\frac {1}{2}$PF$_1$=c+a，利用勾股定理列式，解之得a与c的比值，从而得到$\frac {b}{a}$的值，得到该双曲线的渐近线方程．

解答：

解：∵PF$_2$=F$_1$F$_2$=2c，

∴根据双曲线的定义，得PF$_1$=PF$_2$+2a=2c+2a

过F$_2$点作F$_2$Q⊥PF$_1$于Q点，则F$_2$Q=2a，

等腰△PF$_1$F$_2$中，PQ=$\frac {1}{2}$PF$_1$=c+a，

∴PF $_2$_=PQ_+QF $_2$_，即(2c)_=(c+a)_+(2a)_，

解之得a=$\frac {3}{5}$c，可得b=$\sqrt {}$=$\frac {4}{5}$c

∴$\frac {b}{a}$=$\frac {4}{3}$，得该双曲线的渐近线方程为y=±$\frac {4}{3}$x，即4x±3y=0

故答案为：4x±3y=0，所以选C．

点评：

本题给出双曲线的焦点三角形是以焦距为一腰的等腰三角形，底边上的高等于实轴，求双曲线的渐近线方程．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．

14单选题

已知双曲线$\frac {x^{2}}{a^{2}}$-$\frac {y^{2}}{b^{2}}$=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（　　）

$\frac {x^{2}}{5}$-$\frac {y^{2}}{4}$=1

$\frac {x^{2}}{4}$-$\frac {y^{2}}{5}$-=1

$\frac {x^{2}}{3}$-$\frac {y^{2}}{6}$=1

$\frac {x^{2}}{6}$-$\frac {y^{2}}{3}$=1

题目答案

答案解析

分析：

先利用圆的一般方程，求得圆心坐标和半径，从而确定双曲线的焦距，得a、b间的一个等式，再利用直线与圆相切的几何性质，利用圆心到渐近线距离等于圆的半径，得a、b间的另一个等式，联立即可解得a、b的值，从而确定双曲线方程

解答：

解：∵圆C：x²+y²-6x+5=0的圆心C(3，0)，半径r=2∴双曲线已知双曲线$\frac {x^{2}}{a^{2}}$-$\frac {y^{2}}{b^{2}}$=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）(a＞0，b＞0)的右焦点坐标为(3，0)，即c=3，∴a²+b²=9，①∵双曲线$\frac {x^{2}}{a^{2}}$-$\frac {y^{2}}{b^{2}}$=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为bx-ay=0，∴C到渐近线的距离等于半径，即$\frac {3b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$=2 ②由①②解得：a²=5，b²=4∴该双曲线的方程为$\frac {x^{2}}{5}$-$\frac {y^{2}}{4}$=1故选 A

点评：

本题主要考查了圆的一般方程，直线与圆的位置关系及其应用，双曲线的标准方程及其求法，双曲线的几何性质及其运用，两曲线的综合运用

15填空题

已知双曲线$\frac {x}{2}$-$\frac {y}{b}$=1(b＞0)的左、右焦点分别为F$_1$，F$_2$，其一条渐近线方程为y=x，点P($\sqrt {3}$，y_0)在该双曲线上，则$\xrightarrow[""]{PF$_1$}$•$\xrightarrow[""]{PF$_2$}$=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由题设知b=$\sqrt {2}$，再根据点P($\sqrt {3}$，y_0)在该双曲线上知y_0_=1．由此能求出$\xrightarrow[""]{PF$_1$}$•$\xrightarrow[""]{PF$_2$}$．

解答：

解：∵双曲线$\frac {x}{2}$-$\frac {y}{b}$=1(b＞0)的渐近线方程为y=±$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$bx=±x，

∴b=$\sqrt {2}$．

把点P($\sqrt {3}$，y_0)代入双曲线，得$\frac {3}{2}$-$\frac {y_0}{2}$=1，解得y_0_=1．

∴P($\sqrt {3}$，1)，F$_1$(-2，0)，F$_2$(2，0)，$\xrightarrow[""]{PF$_1$}$•$\xrightarrow[""]{PF$_2$}$=(-2-$\sqrt {3}$，0-1)•(2-$\sqrt {3}$，0-1)=0，

或P($\sqrt {3}$，-1)，F$_1$(-2，0)，F$_2$(2，0)，$\xrightarrow[""]{PF$_1$}$•$\xrightarrow[""]{PF$_2$}$=(-2-$\sqrt {3}$，0+1)•(2-$\sqrt {3}$，0+1)=0．

故答案为0．

点评：

本题考查双曲线的简单性质，解题时要认真审题，仔细解答．

16单选题

已知直线ax+y+2=0与双曲线x-$\frac {y}{4}$=1的一条渐近线平行，则这两条平行直线之间的距离是（　　）

$\frac {$\sqrt {5}$}{5}$

$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$

$\frac {3$\sqrt {5}$}{5}$

$\frac {4$\sqrt {5}$}{5}$

题目答案

答案解析

分析：

根据双曲线的方程，算出它的渐近线为y=±2x，结合题意得到a=±2，从而得到直线的方程，利用平行线之间的距离公式加以计算，可得这两条平行直线之间的距离．

解答：

解：双曲线x-$\frac {y}{4}$=1中，a=1且b=2，

∴双曲线的渐近线方程为y=±2x，

∵直线ax+y+2=0与双曲线的一条渐近线平行，

∴a=±2，可得直线方程为±x+y+2=0，

因此，两条平行直线之间的距离是d=$\frac {|2-0|}{$\sqrt {1+4}$}$=$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$．

故选：B

点评：

本题给出双曲线的渐近线与一条直线平行，求参数a的值并求平行线之间的距离．着重考查了双曲线的简单几何性质、直线的位置关系和平行线之间的距离公式等知识，属于中档题．

17单选题

双曲线$\frac {x}{5}$-$\frac {y}{4}$=1的顶点和焦点到其渐近线距离的比是（　　）

$\frac {3}{5}$

$\frac {5}{3}$

$\frac {3$\sqrt {5}$}{5}$

$\frac {$\sqrt {5}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

根据双曲线的方程，算出右顶点为($\sqrt {5}$，0)，右焦点为(3，0)且渐近线方程为2x±$\sqrt {5}$y=0．利用点到直线的距离公式分别算出右顶点和右焦点到渐近线距离，相除即可得到本题的答案．

解答：

解：∵双曲线的方程为$\frac {x}{5}$-$\frac {y}{4}$=1，

∴a_=5，b_=4，可得c=$\sqrt {}$=3，

由此可得双曲线的一个右顶点为($\sqrt {5}$，0)，右焦点为(3，0)

双曲线的渐近线方程为y=±$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$x，即2x±$\sqrt {5}$y=0

∴右顶点到渐近线的距离为d$_1$=$\frac {|2$\sqrt {5}$|}{$\sqrt {4+5}$}$=$\frac {2$\sqrt {5}$}{3}$，右焦点到渐近线的距离为d$_2$=$\frac {|2×3|}{$\sqrt {4+5}$}$=2

因此，双曲线的顶点和焦点到其渐近线距离的比为$\frac {d$_1$}{d$_2$}$=$\frac {$\frac {2$\sqrt {5}$}{3}$}{2}$=$\frac {$\sqrt {5}$}{3}$

故选：D

点评：

本题给出双曲线方程，求双曲线的顶点和焦点到其渐近线距离的比．着重考查了双曲线的标准方程、简单几何性质和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．

读趣百科

《双曲线的渐近线》双曲线的渐近线

1单选题

题目答案

您的答案

答案解析

2单选题

题目答案

您的答案

答案解析

3单选题

题目答案

您的答案

答案解析

4单选题

题目答案

您的答案

答案解析

5填空题

题目答案

您的答案

答案解析

6单选题

题目答案

您的答案

答案解析

7单选题

题目答案

您的答案

答案解析

8单选题

题目答案

您的答案

答案解析

9单选题

题目答案

您的答案

答案解析

10单选题

题目答案

您的答案

答案解析

11单选题

题目答案

您的答案

答案解析

12单选题

题目答案

您的答案

答案解析

13单选题

题目答案

您的答案

答案解析

14单选题

题目答案

您的答案

答案解析

15填空题

题目答案

您的答案

答案解析

16单选题

题目答案

您的答案

答案解析

17单选题

题目答案

您的答案

答案解析