设f(x)=$\sqrt {3}$sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是a≥．
分析：
构造函数F(x)=|f(x)|=|$\sqrt {3}$sin3x+cos3x|，利用正弦函数的特点求出F(x)_max，从而可得答案．
解答：
解：∵不等式|f(x)|≤a对任意实数x恒成立，
令F(x)=|f(x)|=|$\sqrt {3}$sin3x+cos3x|，
则a≥F(x)_max．
∵f(x)=$\sqrt {3}$sin3x+cos3x=2sin(3x+$\frac {π}{6}$)
∴-2≤f(x)≤2
∴0≤F(x)≤2
F(x)_max=2
∴a≥2．
即实数a的取值范围是a≥2
故答案为：a≥2．
点评：
本题考查两角和与差公式及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题．
已知sinx+2siny=1，且siny+cos_x-m≥0对任意的x，y∈R恒成立，则m的取值范围是( )
分析：
由已知条件利用三角函数推导出m≤-4sin_y+5siny=-4(siny-$\frac {5}{8}$)_+$\frac {25}{16}$．由此能求出结果．
解答：
解：∵sinx+2siny=1，且siny+cos_x-m≥0对任意的x，y∈R恒成立，
∴sin_x=(1-2siny)_=4sin_y-4siny+1，
cos_x=-4sin_y+4siny，
siny+cos_x-m=5siny-4sin_y-m≥0，
∴m≤-4sin_y+5siny
=-4(sin_y-$\frac {5}{4}$siny)
=-4(siny-$\frac {5}{8}$)_+$\frac {25}{16}$．
∵$\left\{\begin{matrix}siny∈[-1，1] \ 1-2siny∈[-1，1] \ \end{matrix}\right.$，∴siny∈[0，1]，
∴m≤(-4sin_y+siny)_min=0，
即m≤0．
故答案为：C．
点评：
本题考查实数的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数知识和配方法的合理运用．
已知函数f(x)是定义在(-∞，1]上的减函数且对一切x∈R，不等式f(k-sinx)≥f(k_-sin_x)恒成立，则k的值为．
分析：
根据函数单调性的定义，转化为不等式组，再确定三角函数的最值，即可确定k的值．
解答：
解：由题意，∵函数f(x)是定义在(-∞，1]上的减函数，不等式f(k-sinx)≥f(k_-sin_x)恒成立
∴$\left\{\begin{matrix}k-sinx≤1 \ k_-sin_x≤1 \ k-sinx≤k_-sin_x \ \end{matrix}\right.$，
∴$\left\{\begin{matrix}k_≤1+sin_x \ k-k_≤sinx-sin_x \ \end{matrix}\right.$，
∴$\left\{\begin{matrix}k_≤(1+sin_x)_min \ k-k_≤(sinx-sin_x)_max \ \end{matrix}\right.$
∴$\left\{\begin{matrix}k_≤1 \ k-k_≤-2 \ \end{matrix}\right.$
∴k=-1
故答案为：-1
点评：
本题考查函数单调性的定义，考查三角函数的最值，解题的关键是正确理解三角函数的定义．
函数f(x)=sinx+cosx，设x∈[-$\frac {π}{6}$，$\frac {π}{3}$]，若f_(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围为( )
分析：
化简函数f(x)=$\sqrt {2}$sin(x+$\frac {π}{4}$)，根据x∈[-$\frac {π}{6}$，$\frac {π}{3}$]，利用正弦函数的定义域和值域求得 $\frac {$\sqrt {3}$-1}{2}$≤f(x)≤$\sqrt {2}$．再由 f_(x)≥a恒成立，可得
($\frac {$\sqrt {3}$-1}{2}$)_=1-$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$≥a，由此求得实数a的取值范围．
解答：
解：∵函数f(x)=sinx+cosx=$\sqrt {2}$sin(x+$\frac {π}{4}$)，设x∈[-$\frac {π}{6}$，$\frac {π}{3}$]，则 x+$\frac {π}{4}$∈[$\frac {π}{12}$，$\frac {7π}{12}$]，故 sin$\frac {π}{12}$≤sin(x+$\frac {π}{4}$)≤sin$\frac {π}{2}$．
求得sin$\frac {π}{12}$=sin($\frac {π}{3}$-$\frac {π}{4}$)=sin$\frac {π}{3}$cos$\frac {π}{4}$-cos$\frac {π}{3}$sin$\frac {π}{4}$=$\frac {$\sqrt {6}$-$\sqrt {2}$}{4}$，∴$\frac {$\sqrt {6}$-$\sqrt {2}$}{4}$≤sin(x+$\frac {π}{4}$)≤1，故 $\frac {$\sqrt {3}$-1}{2}$≤f(x)≤$\sqrt {2}$．
再由 f_(x)≥a恒成立，可得 ($\frac {$\sqrt {3}$-1}{2}$)_=1-$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$≥a，故实数a的取值范围为(-∞，1-$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$]，所以选A．
点评：
本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．