《利用定义求轨迹方程》利用定义求轨迹方程 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《利用定义求轨迹方程》利用定义求轨迹方程

1单选题

设圆C与圆x+(y-3)_=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（　　）

A
抛物线
B
双曲线
C
椭圆
D
圆

题目答案

A

答案解析

分析：

由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可得动点的轨迹．

解答：

解：设C的坐标为(x，y)，圆C的半径为r，圆x+(y-3)_=1的圆心为A，

∵圆C与圆x+(y-3)_=1外切，与直线y=0相切∴|CA|=r+1，C到直线y=0的距离d=r

∴|CA|=d+1，即动点C到定点A的距离等于到定直线y=-1的距离

由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线．

故选A

点评：

本题考查了圆的切线，两圆的位置关系及抛物线的定义，动点的轨迹的求法，是个基础题．

纠错重做

2单选题

若点P到直线x=-1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹为（　　）

A
圆
B
椭圆
C
双曲线
D
抛物线

题目答案

D

答案解析

分析：

把直线x=-1向左平移一个单位变为x=-2，此时点P到直线x=-2的距离等于它到点(2，0)的距离，这就是抛物线的定义．

解答：

解：因为点P到直线x=-1的距离比它到点(2，0)的距离小1，

所以点P到直线x=-2的距离等于它到点(2，0)的距离，

因此点P的轨迹为抛物线．

故选D．

点评：

本题考查抛物线的定义．

纠错重做

3单选题

设定点F$_1$(0，-2)、F$_2$(0，2)，动点P满足条件|PF$_1$|+|PF$_2$|=m+$\frac {4}{m}$(m＞0)，则点P的轨迹是（　　）

A
椭圆
B
线段
C
不存在
D
椭圆或线段

题目答案

D

答案解析

分析：

由于 m+$\frac {4}{m}$≥2$\sqrt {4}$=4，当 m+$\frac {4}{m}$=4时，满足|PF$_1$|+|PF$_2$|=|F$_1$ F$_2$|的点P的轨迹是线段F$_1$F$_2$，m+$\frac {4}{m}$＞4时，满足|PF$_1$|+|PF$_2$|=m+$\frac {4}{m}$＞|F$_1$ F$_2$|的点P的轨迹是椭圆．

解答：

解：∵m＞0，m+$\frac {4}{m}$≥2$\sqrt {4}$=4．

故当m+$\frac {4}{m}$=4时，满足条件|PF$_1$|+|PF$_2$|=m+$\frac {4}{m}$=|F$_1$ F$_2$|的点P的轨迹是线段F$_1$F$_2$ ．

当m+$\frac {4}{m}$＞4时，满足条件|PF$_1$|+|PF$_2$|=m+$\frac {4}{m}$(m＞0)的点P的轨迹是以F$_1$、F$_2$ 为焦点的椭圆．

故选 D．

点评：

本题考查椭圆的定义，基本不等式的应用，体现分类讨论的数学思想，判断m+$\frac {4}{m}$≥4是解题的关键．

纠错重做

4单选题

设直线x+ky-1=0被圆O：x+y_=2所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线x-y-1=0位置关系为（　　）

A
相离
B
相切
C
相交
D
不确定

题目答案

C

答案解析

分析：

先利用垂径定理得出点M的轨迹是一个以OA为直径的圆，再求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，即可得到正确答案．

解答：

解：如图，直线x+ky-1=0恒过定点A(1，0)，

由平面几何知识得，OM⊥AM，

从而中点M的轨迹是以OA为直径的圆，

其方程为：(x-$\frac {1}{2}$)_+y_=$\frac {1}{4}$，

由圆的方程得到圆心坐标($\frac {1}{2}$，0)，半径r=$\frac {1}{2}$，

则圆心($\frac {1}{2}$，0)到直线x-y-1=0的距离d=$\frac {1}{2$\sqrt {5}$}$＜r=$\frac {1}{2}$，

所以直线与圆的位置关系是相交．

故选C．

点评：

此题考查轨迹方程、学生掌握判断直线与圆位置关系的方法是比较圆心到直线的距离d与半径r的大小，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．

纠错重做

5单选题

点F$_1$、F$_2$是两个定点，动点P满足|PF$_1$|+|PF$_2$|=2a(a为非负常数)，则动点P的轨迹（　　）

A
是线段
B
是椭圆
C
不存在
D
前三种情况都有可能

题目答案

D

答案解析

分析：

由椭圆的定义与平面几何知识，结合题意加以分类讨论，可得动点P的轨迹是线段、椭圆或不存在，可得答案．

解答：

解：①当2a＞|F$_1$F$_2$|时，若动点P满足|PF$_1$|+|PF$_2$|=2a，则由椭圆的定义，

可得动点P的轨迹是以F$_1$、F$_2$为焦点的椭圆；

②当2a=|F$_1$F$_2$|时，若动点P满足|PF$_1$|+|PF$_2$|=2a=|F$_1$F$_2$|，

可得点P在线段F$_1$F$_2$上运动，动点P的轨迹是线段F$_1$F$_2$；

③当2a＜|F$_1$F$_2$|时，若动点P满足|PF$_1$|+|PF$_2$|=2a＜|F$_1$F$_2$|，

由平面几何知识，可得不存在满足条件的点P，找不到P的轨迹对应的图形．

综上所述，动点P的轨迹是线段、椭圆或不存在．

故选：D

点评：

本题给出到两个定点距离等于定长的点P，求该点的轨迹方程．着重考查了椭圆的定义与轨迹方程求法等知识，属于基础题．

纠错重做

6单选题

已知△ABC，B(-3，0)，C(3，0)，△ABC的周长为14，则A点的轨迹方程（　　）

A

$\frac {x}{16}^{2}$+$\frac {y}{7}^{2}$=1

B

$\frac {x}{25}^{2}$+$\frac {y}{16}^{2}$=1

C

$\frac {x}{16}^{2}$+$\frac {y}{7}^{2}$=1(x≠±4)

D

$\frac {x}{25}^{2}$+$\frac {y}{16}^{2}$=1(x≠±5)

题目答案

C

答案解析

分析：

由题意可知，A点的轨迹是以B，C为焦点且长半轴为4的椭圆(除去与x轴的交点)，求出椭圆的短半轴长后代入椭圆的标准方程即可．

解答：

解：在△ABC中，由B(-3，0)，C(3，0)，且△ABC的周长为14，所以|AB|+|AC|=8，因此，A点的轨迹是以B，C为焦点且长半轴为4的椭圆(除去与x轴的交点)，由b2=a2-c2=16-9=7．所以A点的轨迹方程为$\frac {x}{16}^{2}$+$\frac {y}{7}^{2}$=1(x≠±4)．故选C．

点评：

本题考查了椭圆的定义，解答时注意点的取舍，是易错题．

纠错重做

7单选题

若动点M到定点F$_1$(0，-1)、F$_2$(0，1)的距离之和为2，则点M的轨迹为（　　）

A
椭圆
B
直线F$_1$F$_2$
C
线段F$_1$F$_2$
D
直线F$_1$F$_2$的垂直平分线

题目答案

C

答案解析

分析：

由题意，|MF$_1$|+|MF$_2$|=|F$_1$F$_2$|，可得点M在线段F$_1$F$_2$上，从而可得结论．

解答：

解：∵动点M到定点F$_1$(0，-1)、F$_2$(0，1)的距离之和为2，

∴|MF$_1$|+|MF$_2$|=|F$_1$F$_2$|，

∴点M在线段F$_1$F$_2$上，

∴点M的轨迹为线段F$_1$F$_2$．

故选C．

点评：

本题给出动点M满足的条件，求M的轨迹类型，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

纠错重做

8单选题

△ABC的顶点A(-5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（　　）

A

$\frac {x}{9}^{2}$-$\frac {y}{16}^{2}$=1

B

$\frac {x}{16}^{2}$-$\frac {y}{9}^{2}$=1

C

$\frac {x}{9}^{2}$-$\frac {y}{16}^{2}$=1(x＞3)

D

$\frac {x}{16}^{2}$-$\frac {y}{9}^{2}$=1(x＞4)

题目答案

C

答案解析

分析：

根据图可得：|CA|-|CB|为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．

解答：

解：如图设△ABC与圆的切点分别为D、E、F，则有|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，所以|CA|-|CB|=8-2=6．根据双曲线定义，所求轨迹是以B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为$\frac {x}{9}^{2}$-$\frac {y}{16}^{2}$=1(x＞3)．故选C

点评：

本题考查轨迹方程，利用的是定义法，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求．

纠错重做

9单选题

已知圆F$_1$：(x+2)_+y_=1，圆F$_2$：(x-2)_+y_=4，动圆与圆F$_1$内切且与圆F$_2$外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　）

A
$\frac {x}{9}$+$\frac {y}{5}$=1
B
$\frac {x}{9}$-$\frac {y}{5}$=1(x≤-3)
C
$\frac {4x}{9}$-$\frac {4y}{7}$=1
D
$\frac {4x}{9}$-$\frac {4y}{7}$=1(x≤-$\frac {3}{2}$)

题目答案

D

答案解析

分析：

据两圆外切和内切的判定，圆心距与两圆半径和差的关系，设出动圆半径为r，消去r，根据圆锥曲线的定义，即可求得动圆圆心M的轨迹，进而可求其方程．

解答：

解：设动圆圆心M(x，y)，半径为r，

∵圆M与圆F$_1$：(x+2)_+y_=1内切且与圆F$_2$：(x-2)_+y_=4外切，

∴|MF$_1$|=r-1，|MF$_2$|=r+2，

∴|MF$_2$|-|MF$_1$|=3＜4，

∴点M的轨迹是以点F$_1$，F$_2$为焦点的双曲线的左支，

∴动圆圆心M的轨迹方程是$\frac {4x}{9}$-$\frac {4y}{7}$=1(x≤-$\frac {3}{2}$)，

故选D．

点评：

考查两圆的位置关系及判定方法和双曲线的定义和标准方程，特别注意是轨迹是双曲线的一支还是双支，这是学生在解题中最易忽视的地方，属中档题．

纠错重做

10单选题

已知M(-2，0)，N(2，0)，|PM|-|PN|=2，则动点P的轨迹是（　　）

A
双曲线
B
双曲线左支
C
双曲线右支
D
一条射线

题目答案

C

答案解析

分析：

先计算|MN|，可得|PM|-|PN|＜|MN|，由双曲线的定义可得．

解答：

解：由题意|MN|=2-(-2)=4

∵|PM|-|PN|=2

∴|PM|-|PN|＜|MN|

∴点P的轨迹是双曲线靠近N的一支，即右支，

故选C

点评：

本题考查轨迹方程，涉及双曲线的定义，分清双曲线的哪支是解决问题的关键，属基础题．

纠错重做

11单选题

已知点M(-3，0)、N(3，0)、B(1，0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（　　）

A
x-$\frac {y}{8}$=1(x＜-1)
B
x-$\frac {y}{8}$=1(x＞1)
C
x+$\frac {y}{8}$=1(x＞0)
D
x-$\frac {y}{10}$=1(x＞1)

题目答案

B

答案解析

分析：

先由题意画出图形，可见⊙C是△PMN的内切圆，则由切线长定理得|MA|=|MB|、|ND|=|NB|、|PA|=|PD|；此时求|PM|-|PN|可得定值，即满足双曲线的定义；然后求出a、b，写出方程即可(要注意x的取值范围)．

解答：

解：由题意画图如下

可见|MA|=|MB|=4，|ND|=|NB|=2，且|PA|=|PD|，

那么|PM|-|PN|=(|PA|+|MA|)-(|PD|+|ND|)=|MA|-|ND|=4-2=2＜|MN|，

所以点P的轨迹为双曲线的右支(右顶点除外)，

又因为2a=2，c=3，则a=1，b_=9-1=8，

所以点P的轨迹方程为x-$\frac {y}{8}$=1(x＞1)．

故选B．

点评：

本题主要考查双曲线的定义与标准方程．

纠错重做

12单选题

已知F$_1$、F$_2$是椭圆$\frac {x}{4}$+$\frac {y}{3}$=1的两个焦点，平面内一个动点M满足|MF$_1$|-|MF$_2$|=2，则动点M的轨迹是（　　）

A
双曲线
B
双曲线的一个分支
C
两条射线
D
一条射线

题目答案

D

答案解析

分析：

先根据椭圆方程求得焦点坐标，设出M的坐标，利用两点间的距离公式和题设等式建立方程，平方后化简整理求得y=0，同时|MF$_1$|＞|MF$_2$|，可推断出 动点M的轨迹，是一条射线，起点是(2，0)，方向同x轴正方向．

解答：

解：根据题意，F$_1$(-1，0)，F$_2$(1，0)，假设M(x，y)，根据|MF$_1$|-|MF$_2$|=2，可以得到：

$\sqrt {}$+$\sqrt {}$=2，两边平方，化简可以得到y=0，又因为|F$_1$F$_2$|=2，且|MF$_1$|＞|MF$_2$|，

所以：动点M的轨迹，是一条射线，起点是(2，0)，方向同x轴正方向．

故选D

点评：

本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．

纠错重做