《三次函数相关问题》三次函数相关问题 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《三次函数相关问题》三次函数相关问题

1单选题

已知函数f(x)=x+ax+bx+c有两个极值点x$_1$，x$_2$，若f(x$_1$)=x$_1$＜x$_2$，则关于x的方程3(f(x))_+2af(x)+b=0的不同实根个数为（　　）

A
3
B
4
C
5
D
6

题目答案

A

答案解析

分析：

由函数f(x)=x+ax+bx+c有两个极值点x$_1$，x$_2$，可得f_(x)=3x+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a_-12b＞0．而方程3(f(x))_+2af(x)+b=0的△$_1$=△＞0，可知此方程有两解且f(x)=x$_1$或x$_2$．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f(x)=x$_1$或f(x)=x$_2$解得个数．

解答：

解：∵函数f(x)=x+ax+bx+c有两个极值点x$_1$，x$_2$，

∴f_(x)=3x+2ax+b=0有两个不相等的实数根，

∴△=4a_-12b＞0．解得x=$\frac {-2a±$\sqrt {}$}{6}$=$\frac {-a±$\sqrt {}$}{3}$．

∵x$_1$＜x$_2$，∴x$_1$=$\frac {-a-$\sqrt {}$}{3}$，x$_2$=$\frac {-a+$\sqrt {}$}{3}$．

而方程3(f(x))_+2af(x)+b=0的△$_1$=△＞0，∴此方程有两解且f(x)=x$_1$或x$_2$．

不妨取0＜x$_1$＜x$_2$，f(x$_1$)＞0．

①把y=f(x)向下平移x$_1$个单位即可得到y=f(x)-x$_1$的图象，∵f(x$_1$)=x$_1$，可知方程f(x)=x$_1$有两解．

②把y=f(x)向下平移x$_2$个单位即可得到y=f(x)-x$_2$的图象，∵f(x$_1$)=x$_1$，∴f(x$_1$)-x$_2$＜0，可知方程f(x)=x$_2$只有一解．

综上①②可知：方程f(x)=x$_1$或f(x)=x$_2$．只有3个实数解．即关于x的方程3(f(x))_+2af(x)+b=0的只有3不同实根．

故选A．

点评：

本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．

纠错重做

2单选题

若函数f(x)=x+ax+bx+c有极值点x$_1$，x$_2$，且f(x$_1$)=x$_1$，则关于x的方程3(f(x))_+2af(x)+b=0的不同实根个数是（　　）

A
3
B
4
C
5
D
6

题目答案

A

答案解析

分析：

求导数f′(x)，由题意知x$_1$，x$_2$是方程3x+2ax+b=0的两根，从而关于f(x)的方程3(f(x))_+2af(x)+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．

解答：

解：f′(x)=3x+2ax+b，x$_1$，x$_2$是方程3x+2ax+b=0的两根，不妨设x$_2$＞x$_1$，

由3(f(x))_+2af(x)+b=0，则有两个f(x)使等式成立，x$_1$=f(x$_1$)，x$_2$＞x$_1$=f(x$_1$)，

如下示意图象：

如图有三个交点，

故选A．

点评：

考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．

纠错重做

3单选题

已知函数f(x)=x+bx+cx的图象如图所示，则$_1$+$_2$等于(　　)

A
$\frac {2}{3}$
B
$\frac {4}{3}$
C
$\frac {8}{3}$
D
$\frac {16}{3}$

题目答案

C

答案解析

分析：

先利用函数的零点，计算b、c的值，确定函数解析式，再利用函数的极值点为x$_1$，x$_2$，利用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可

解答：

解：由图可知，f(x)=0的三个根为0，1，2

∴f(1)=1+b+c=0，f(2)=8+4b+2c=0

解得b=-3，c=2

又由图可知，x$_1$，x$_2$为函数f(x)的两个极值点

∴f′(x)=3x-6x+2=0的两个根为x$_1$，x$_2$，

∴x$_1$+x$_2$=2，x$_1$x$_2$=$\frac {2}{3}$

∴$_1$+$_2$=(x$_1$+x$_2$)_-2x$_1$x$_2$=4-$\frac {4}{3}$=$\frac {8}{3}$

故选 C

点评：

本题主要考查了导数在函数极值中的应用，一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值的思想方法

纠错重做