《棱柱的内接四面体》棱柱的内接四面体

1单选题

若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，则( )

①四面体ABCD每组对棱相互垂直

②四面体ABCD每个面的面积相等

③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°

④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互垂直平分

⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．

②④

①②④

②④⑤

①④⑤

题目答案

答案解析

分析：

①将四面体ABCD的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相等，所以平行六面体为长方体．结合长方体的性质判断

②四面体ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的．

③由②，从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为180°．

④连接四面体ABCD每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分

⑤由①，设所在的长方体长宽高分别为a，b，c，则每个顶点出发的三条棱长分别为$\sqrt {}$，$\sqrt {}$，$\sqrt {}$易知能构成三角形．

解答：

解：①将四面体ABCD的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相等，所以平行六面体为长方体．

由于长方体的各面不一定为正方形，所以同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不一定相互垂直．①错误

②四面体ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的．②正确

③由②，四面体ABCD的每个面是全等的三角形，从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为180°．③错误

④连接四面体ABCD每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分④正确

⑤由①，设所在的长方体长宽高分别为a，b，c，则每个顶点出发的三条棱长分别为$\sqrt {}$，$\sqrt {}$，$\sqrt {}$，任意两边之和大于第三边，能构成三角形．⑤正确

故答案为：C．

点评：

本题考查空间几何体的结构特征，线线位置故选，要具有良好的转化，推理、论证能力．

2单选题

已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=$\sqrt {2}$，则球O的表面积等于（　　）

4π

3π

2π

题目答案

答案解析

分析：

先寻找球心，根据S，A，B，C是球O表面上的点，则OA=OB=OC=OS，根据直角三角形的性质可知O为SC的中点，则SC即为直径，根据球的面积公式求解即可．

解答：

解：∵已知S，A，B，C是球O表面上的点

∴OA=OB=OC=OS=1

又SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=$\sqrt {2}$，

∴球O的直径为2R=SC=2，R=1，

∴表面积为4πR_=4π．

故选A．

点评：

本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及球的表面积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

3单选题

如图，在三棱锥O-ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＞OB＞OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S$_1$，S$_2$，S$_3$，则S$_1$，S$_2$，S$_3$的大小关系为( )

S$_1$＜S$_2$＜S$_3$

S$_2$＜S$_1$＜S$_3$

S$_3$＜S$_2$＜S$_1$

S$_3$＜S$_1$＜S$_2$

题目答案

答案解析

分析：

通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令棱长为1，2，3，推得结论．

解答：

解：三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＞OB＞OC，构造长方体，不妨令棱长为1，2，3容易推得S$_3$＜S$_2$＜S$_1$．

故答案为：S$_3$＜S$_2$＜S$_1$，选C．

点评：

考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，是基础题．

4单选题

三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，PA⊥底面ABC，且PA=2，则此三棱锥外接球的半径为（　　）

$\sqrt {2}$

$\sqrt {3}$

$\frac {$\sqrt {21}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

由题意，PC的中点为三棱锥外接球的球心，求出PC，即可求出三棱锥外接球的半径．

解答：

解：由题意，∵AB⊥BC，PA⊥底面ABC，∴PB⊥BC，PA⊥AC，

∴PC的中点为三棱锥外接球的球心．

∵AB=BC=2，AB⊥BC，

∴AC=$\sqrt {}$=$\sqrt {}$=$\sqrt {8}$=2$\sqrt {2}$，

∵PA⊥底面ABC，且PA=2，

∴PC=$\sqrt {}$=2$\sqrt {3}$，

∴三棱锥外接球的半径为$\sqrt {3}$．

故选：B．

点评：

本题考查的知识点是球内接多面体，确定PC的中点为三棱锥外接球的球心是关键．

5单选题

三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱)分别相等，且长各为$\sqrt {2}$、m、n，其中m_+n_=6，则该三棱锥体积的最大值为（　　）

$\frac {1}{2}$

$\frac {8$\sqrt {3}$}{27}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

三棱锥扩展为长方体，三棱锥的体积转化为长方体的体积与四个三棱锥的体积的差，推出B不正确，则C不正确，通过特殊图形说明D正确．

解答：

解：如图设长方体的三边分别为：a，b，c；所以

所求三棱锥的体积为：abc-4×$\frac {1}{3}$×$\frac {1}{2}$abc=$\frac {1}{3}$abc．

a_+b_=2，b_+c_=n_，a_+c_=m_，

所以2(a_+b_+c_)=n_+m_+2=8．

a_+b_+c_=4．

因为4≥3$\sqrt {}$，abc≤$\sqrt {}$=$\frac {8$\sqrt {3}$}{9}$此时a=b=c，与n_+m_=6，a_+b_=2，矛盾，所以选项B不正确；

则C不正确；

当底面三角形是等腰三角形时，m=n=$\sqrt {3}$，

不难求出三棱锥体积的最大值为：$\frac {$\sqrt {2}$}{3}$．

故选D．

点评：

本题考查几何体的体积的求法，扩展为长方体是解题的关键，考查基本不等式的应用，转化思想与计算能力．

6单选题

若正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥外接球的半径与侧棱长之比为( )

$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

$\frac {1}{2}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

三棱锥扩展为长方体，它的对角线的长度，就是球的直径，求出半径与侧棱长之比即可．

解答：

解：三棱锥扩展为长方体，它的对角线的长度，就是球的直径，

设侧棱长为a，则

它的对角线的长度为：$\sqrt {}$=$\sqrt {3}$a

球的半径为：$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$a，

则该正三棱锥外接球的半径与侧棱长之比为$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

故答案为：$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$，选A．

点评：

本题考查棱锥的结构特征，外接球的知识，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．

7单选题

已知正方形AP$_1$P$_2$P$_3$的边长为4，点B，C分别是边P$_1$P$_2$，P$_2$P$_3$的中点，沿AB，BC，CA折叠成一个三棱锥P-ABC(使P$_1$，P$_2$，P$_3$重合于P)，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（　　）

24π

12π

8π

4π

题目答案

答案解析

分析：

因为折叠后的三棱锥的侧面PAB、侧面PBC、侧面PCA都是直角三角形，可得PA、PB、PC两两互相垂直，由球的几何性质得外接球的直径2R=$\sqrt {}$=2$\sqrt {6}$，从而半径R=$\sqrt {6}$，结合球的表面积公式，可得P-ABC的外接球表面积．

解答：

解：根据题意，得折叠后的三棱锥P-ABC中，侧面PAB、侧面PBC、侧面PCA都是直角三角形，

∴PA、PB、PC两两互相垂直，

∵PA=4，PB=PC=2

∴三棱锥P-ABC的外接球的直径为：2R=$\sqrt {}$=$\sqrt {}$=2$\sqrt {6}$

∴外接球的半径为R=$\sqrt {6}$，可得三棱锥P-ABC的外接球表面积为S=4πR_=24π

故选：A

点评：

本题给出由正方形折叠成的三棱锥，求其外接球的表面积，着重考查了球的几何性质和表面积公式等知识点，属于基础题．

8单选题

在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=1，则A-BCD的体积为（　　）

$\frac {$\sqrt {12}$}{12}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{24}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{12}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{24}$

题目答案

答案解析

分析：

先证明AC⊥面ABD，然后求底面ABD的面积，即可求出体积．

解答：

解：EF⊥DE，EF∥AC∴AC⊥DE，又AC⊥BD∴AC⊥面ABD，

AB=AC=AD=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，可求体积：$\frac {1}{3}$×$\frac {1}{2}$×$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$×$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$×$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$= $\frac {$\sqrt {2}$}{24}$

故选B．

点评：

本题考查椎体体积计算公式，考查空间想象能力，是基础题．

9单选题

已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为边BC，CD的中点，沿AE、EF、AF折叠成一个三棱锥P-AEF(使B，C，D重合于点P)，则三棱锥P-AEF的外接球的表面积为(　　)

8$\sqrt {3}$π

36π

12π

6π

题目答案

答案解析

分析：

利用球的内接长方体的性质，得出半径，求解面积．

解答：

解：正方形ABCD的边长为2，

∵点E、F分别为边BC，CD的中点，沿AE、EF、AF折叠成一个三棱锥P-AEF(使B，C，D重合于点P)，

∴AP=2，PE=1，PF=1，

∴三棱锥P-AEF的外接球的直径为：$\sqrt {}$=$\sqrt {6}$

即半径为$\frac {$\sqrt {6}$}{2}$，

∴表面积为4π×($\frac {$\sqrt {6}$}{2}$)_=6π，

故选：D

点评：

本题考查了空间几何体的性质，运算求解面积，属于中档题．

10单选题

如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（　　）

$\frac {8$\sqrt {2}$}{3}$π

4π

8π

16π

题目答案

答案解析

分析：

由三视图判断出几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，求出对应的高和底面的边长，根据它的外接球是对应直三棱锥的外接球，由外接球的结构特征，求出它的半径，代入表面积公式进行求解．

解答：

解：由三视图知该几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，

直三棱锥的高是2，底面的直角边长为$\sqrt {2}$，斜边为2，则直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，

设几何体外接球的半径为R，则

∵底面是等腰直角三角形，

∴底面外接圆的半径为1，

∴R_=1+1=2，

故外接球的表面积是4πR_=8π，

故选：C．

点评：

本题考查了由三视图求几何体的体积，考查了空间想象能力，关键是对几何体正确还原，并根据三视图的长度求出几何体的几何元素的长度，求出外接球的半径，进而求出它的表面积．

11单选题

如图，已知球O的面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=2，则球O的体积与表面积的比为( )

1：$\sqrt {3}$

2：$\sqrt {5}$

$\sqrt {5}$:1

$\sqrt {3}$:2

题目答案

答案解析

分析：

先说明△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，球的直径就是CD，求出CD，即可求出球的体积以及表面积．

解答：

解：AB⊥BC，△ABC的外接圆的直径为AC，AC=2$\sqrt {2}$，

由DA⊥面ABC，得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，

∴CD为外接球的直径，CD=$\sqrt {}$=2$\sqrt {3}$，

∴球的半径R=$\sqrt {3}$，∴V_球=$\frac {4}{3}$πR_=4$\sqrt {3}$π．

球的表面积为：4πR_=12π．

∴球O的体积与表面积的比为：$\frac {4$\sqrt {3}$π}{12π}$=1：$\sqrt {3}$

故答案为：1：$\sqrt {3}$，所以选A．

点评：

本题考查球的内接多面体，说明三角形是直角三角形，推出CD是球的直径，是本题的突破口，解题的重点所在，考查分析问题解决问题的能力．

12单选题

在三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面积分别为$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$、$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$、$\frac {$\sqrt {6}$}{2}$，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为（　　）

$\sqrt {6}$π

2$\sqrt {6}$π

3$\sqrt {6}$π

4$\sqrt {6}$π

题目答案

答案解析

分析：

三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，转化为对角线长，即可求解外接球的体积．

解答：

解：三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，

设长方体的三度为a，b，c由题意得：ab=$\sqrt {6}$，ac=$\sqrt {3}$，bc=$\sqrt {2}$，

解得：a=$\sqrt {3}$，b=$\sqrt {2}$，c=1，

所以球的直径为：$\sqrt {}$=$\sqrt {6}$

它的半径为$\frac {$\sqrt {6}$}{2}$，

球的体积为$\frac {4π}{3}$($\frac {$\sqrt {6}$}{2}$)_=$\sqrt {6}$π；

故选A

点评：

本题是基础题，考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在．

13单选题

若P、A、B、C是球O面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则球O的表面积为（　　）

2π

3π

4π

5π

题目答案

答案解析

分析：

先把三棱锥扩展为正方体，求出对角线的长，就是球的直径，然后求出球的表面积．

解答：

解：先把三棱锥扩展为正方体，求出对角线的长，

即：对角线的长为$\sqrt {3}$，

所以球的半径为$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$，

所以球的表面积为4π($\frac {$\sqrt {3}$}{2}$)_=3π

故选B．

点评：

本题考查学生的空间想象能力，以及球内接多面体、球的体积和表面积公式的利用，是基础题．

14单选题

在三棱锥A-BCD中，已知AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，AB=a，BC=b，CD=c，a_+b_+c_=4，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（　　）

$\frac {4π}{3}$

$\frac {8π}{3}$

4π

16π

题目答案

答案解析

分析：

由题意，该三棱锥与以a，b，c为从同一顶点出发的三条棱长的长方体有相同的外接球，求出球的半径，即可得出三棱锥A-BCD的外接球的表面积．

解答：

解：由题意，该三棱锥与以a，b，c为从同一顶点出发的三条棱长的长方体有相同的外接球，且球的直径为2R=$\sqrt {}$=2，所以R=1，所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积为4π．

故选：C．

点评：

本题考查三棱锥A-BCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的直径是关键．

15填空题

设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直且PA=PB=PC=1，则球O的表面积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

3π

答案解析

分析：

先把三棱锥扩展为正方体，求出对角线的长，就是球的直径，然后求出表面积．

解答：

解：先把三棱锥扩展为正方体，求出对角线的长，即：对角线长为$\sqrt {3}$，

所以球的半径为$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$，所以球的表面积为4π($\frac {$\sqrt {3}$}{2}$)_=3π

点评：

本题考查学生的空间想象能力以及公式的利用，是基础题．

16单选题

三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=2，AB=BC=1，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为（　　）

6π

12π

16π

24π

题目答案

答案解析

分析：

根据题意，确定SC的中点为三棱锥S-ABC的外接球的球心，从而可求三棱锥S-ABC的外接球的表面积．

解答：

解：取SC的中点为O，则

∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，AC⊂平面ABC

∴SA⊥BC，SA⊥AC

∵AB⊥BC，SA∩AB=A

∴BC⊥平面SAB

∵SB⊂平面SAB

∴BC⊥SB

∵SC的中点为O

∴OS=OA=OB=OC

∴O为三棱锥S-ABC的外接球的球心

∵SA=2，AB=BC=1

∴SC=$\sqrt {6}$

∴三棱锥S-ABC的外接球的表面积为4π×($\frac {$\sqrt {6}$}{2}$)_=6π

故选A．

点评：

本题考查三棱锥S-ABC的外接球的表面积，解本题的关键是确定三棱锥S-ABC的外接球的球心与半径．

17填空题

已知三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=$\sqrt {2}$，则该三棱锥外接球的表面积等于．

填空题答案仅供参考

题目答案

4π

答案解析

分析：

根据题意，证出BC⊥平面SAB，可得BC⊥SB，得Rt△BSC的中线OB=$\frac {1}{2}$SC，同理得到OA=$\frac {1}{2}$SC，因此O是三棱锥S-ABC的外接球心．利用勾股定理结合题中数据算出SC=2，得外接球半径R=1，从而得到所求外接球的表面积．

解答：

解：取SC的中点O，连结OA、OB

∵SA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，

∴SA⊥AC，可得Rt△ASC中，中线OA=$\frac {1}{2}$SC

又∵SA⊥BC，AB⊥BC，SA、AB是平面SAB内的相交直线

∴BC⊥平面SAB，可得BC⊥SB

因此Rt△BSC中，中线OB=$\frac {1}{2}$SC

∴O是三棱锥S-ABC的外接球心，

∵Rt△SCA中，AC=$\sqrt {}$=$\sqrt {3}$，SA=1

∴SC=$\sqrt {}$=2，可得外接球半径R=$\frac {1}{2}$SC=1

因此，外接球的表面积S=4πR_=4π

故答案为：4π

点评：

本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．

18单选题

已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=$\sqrt {3}$，则球O的表面积是（　　）

6π

8π

9π

16π

题目答案

答案解析

分析：

由已知AB⊥BC及DA⊥平面ABC，说明△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，球的直径就是CD，求出CD，即可求出球的表面积．

解答：

解：∵AB⊥BC，AB=BC=$\sqrt {3}$，

∴△ABC的外接圆的直径为AC，

且AC=$\sqrt {}$=$\sqrt {6}$，

由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，

△CDB是直角三角形，

△ACD是直角三角形，

∴CD为球的直径，CD=$\sqrt {}$=3，

∴球的半径R=$\frac {3}{2}$，

∴S_球=4πR_=9π．

故选C

点评：

本题是基础题，考查球的内接多面体，说明三角形是直角三角形，推出CD是球的直径，是本题的突破口，解题的重点所在，考查分析问题解决问题的能力．

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