《函数图象与导数》函数图象与导数

1单选题

设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)

函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)

函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)

题目答案

答案解析

分析：

利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．

解答：

解：由函数的图象可知，f′(-2)=0，f′(2)=0，并且当x＜-2时，f′(x)＞0，当-2＜x＜1，f′(x)＜0，函数f(x)有极大值f(-2)．又因为当1＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，故函数f(x)有极小值f(2)．故选D．

点评：

本题考查函数与导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，函数的图象的应用．

2单选题

设函数f(x)=ax+bx+c(a，b，c∈R)，若x=-1为函数y=f(x)e_的一个极值点，则下列图象不可能为y=f(x)的图象是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

先求出函数f(x)e_的导函数，利用x=-1为函数f(x)e_的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f(x)=ax+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．

解答：

解：由y=f(x)e_=e_(ax+bx+c)⇒y'=f'(x)e_+e_f(x)=e_[ax+(b+2a)x+b+c]，

由x=-1为函数f(x)e_的一个极值点可得，-1是方程ax+(b+2a)x+b+c=0的一个根，

所以有a-(b+2a)+b+c=0⇒c=a．

法一：所以函数f(x)=ax+bx+a，对称轴为x=-$\frac {b}{2a}$，且f(-1)=2a-b，f(0)=a．

对于A，由图得a＞0，f(0)＞0，f(-1)=0符合要求，

对于B，由图得a＜0，f(0)＜0，f(-1)=0不矛盾，

对于C，由图得a＜0，f(0)＜0，x=-$\frac {b}{2a}$＞0⇒b＞0⇒f(-1)＜0不矛盾，

对于D，由图得a＞0，f(0)＞0，x=-$\frac {b}{2a}$＜-1⇒b＞2a⇒f(-1)＜0与原图中f(-1)＞0矛盾，D不对．

法二：所以函数f(x)=ax+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立

故选 D．

点评：

本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等于0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．

3单选题

函数f(x)=ax_(1-x)_在区间(0.1)上的图象如图所示，则n可能是(　　)

题目答案

答案解析

分析：

先从图象上得出原函数的最值(极值)点小于0.5，再把答案分别代入验证法看哪个选项符合要求来找答案即可．

解答：

解：由于本题是选择题，可以用代入法来作，

由图得，原函数的最值(极值)点小于0.5．

当n=1时，f(x)=ax(1-x)_=a(x-2x+x)，所以f'(x)=a(3x-1)(x-1)，令f'(x)=0⇒x=$\frac {1}{3}$，x=1，即函数在x=$\frac {1}{3}$处有最值，故A对；

当n=2时，f(x)=ax_(1-x)_=a(x-2x+x)，有f'(x)=a(4x-6x+2x)=2ax(2x-1)(x-1)，令f'(x)=0⇒x=0，x=$\frac {1}{2}$，x=1，即函数在x=$\frac {1}{2}$处有最值，故B错；

当n=3时，f(x)=ax_(1-x)_，有f'(x)=ax_(x-1)(5x-3)，令f'(x)=0，⇒x=0，x=1，x=$\frac {3}{5}$，即函数在x=$\frac {3}{5}$处有最值，故C错．

当n=4时，f(x)=ax_(1-x)_，有f'(x)=2x_(3x-2)(x-1)，令f'(x)=0，⇒x=0，x=1，x=$\frac {2}{3}$，即函数在x=$\frac {2}{3}$处有最值，故D错

故选 A．

点评：

本题主要考查函数的最值(极值)点与导函数之间的关系．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．本题考查利用极值求对应变量的值．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．

4单选题

若函数y=f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象可能是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

根据函数的单调性与导函数的关系，用排除法进行判断．

解答：

解：∵函数y=f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，

∴对任意的a＜x′＜x″＜b，有f′(a)＜f′(x′)＜f′(x″)＜f′(b)，

∴A 满足上述条件，

B 存在f′(x′)＞f′(x″)，

C 对任意的a＜x′＜x″＜b，f′(x′)=f′(x″)，

D 对任意的x∈[a，b]，f′(x)不满足逐项递增的条件，

故选A．

点评：

掌握函数的单调性与导函数的关系，并会观察图形．

5单选题

已知函数y=f(x)，y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x)，y=g(x)的图象可能是(　　)

题目答案

答案解析

分析：

根据导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小可得答案．

解答：

解：从导函数的图象可知两个函数在x_0处斜率相同，可以排除B，

再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y=f(x)的导函数的值在减小，

所以原函数应该斜率慢慢变小，排除AC，

故选D．

点评：

本题主要考查但函数的意义．建议让学生在最后一轮一定要回归课本，抓课本基本概念．

6单选题

设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f(x)和y=f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．

解答：

解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f(x)和y=f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．

点评：

考查函数的单调性问题．

7单选题

函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为(　　)

题目答案

答案解析

分析：

根据当f'(x)＞0时函数f(x)单调递增，f'(x)＜0时f(x)单调递减，可从f′(x)的图象可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．

解答：

解：从f′(x)的图象可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，

根据极值点的定义可知在(a，b)内只有一个极小值点．

故选A．

点评：

本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题．

8单选题

函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极大值点(　　)

1个

2个

3个

4个

题目答案

答案解析

分析：

根据题目给出的导函数的图象，得到导函数在给定定义域内不同区间上的符号，由此判断出原函数在各个区间上的单调性，从而判断出函数取得极大值的情况．

解答：

解：如图，不妨设导函数的零点从小到大分别为x$_1$，x$_2$，x$_3$，x$_4$．由导函数的图象可知：当x∈(a，x$_1$)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x∈(x$_1$，x$_2$)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，当x∈(x$_2$，x$_3$)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x∈(x$_3$，x$_4$)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x∈(x$_4$，b)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，由此可知，函数f(x)在开区间(a，b)内有两个极大值点，是当x=x$_1$，x=x$_3$时函数取得极大值．故选B．

点评：

本题考查了利用导函数研究函数的极值，由导函数在给定区间内的符号可以判断原函数的单调性，连续函数在某点处先增后减，该点是极大值点，先减后增，该点是极小值点．此题是中档题．

9单选题

已知函数f(x)的导函数如图所示，若△ABC为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是(　　)

f(sinA)＞f(cosA)

f(sinA)＞f(cosB)

f(cosA)＜f(cosB)

f(sinA)＜f(cosB)

题目答案

答案解析

分析：

根据函数单调性和导数之间的关系，结合三角函数值的取值范围即可得到结论．

解答：

解：若△ABC为锐角三角形，则0＜A＜$\frac {π}{2}$，0＜B＜$\frac {π}{2}$，0＜C＜$\frac {π}{2}$，即0＜π-A-B＜$\frac {π}{2}$，

∴0＜$\frac {π}{2}$-A＜B＜$\frac {π}{2}$，即cos($\frac {π}{2}$-A)＞cosB，

∴0＜cosB＜sinA＜1，

由导函数图象可知f(x)在(0，1)上单调递减，

∴f(sinA)＜f(cosB)，

故选：D．

点评：

本题主要考查函数值的大小比较，根据函数的单调性以及三角函数值的大小关系是解决本题的关键．

10单选题

设函数f(x)=xsinx+cosx的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为k，则函数k=g(t)的部分图象为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

先对函数f(x)进行求导运算，根据在点(t，f(t))处切线的斜率为在点(t，f(t))处的导数值，可得答案．

解答：

解：∵f(x)=x sinx+cosx

∴f'(x)=(x sinx)'+(cosx)'

=x(sinx)'+(x)'sinx+(cosx)'

=x cosx+sinx-sinx

=x cosx

∴k=g(t)=tcost

根据y=cosx的图象可知g(t)应该为奇函数且当x＞0时g(t)＞0

故选B．

点评：

本题主要考查函数的导数和在某点处切线斜率的关系．属基础题．

11单选题

当a＞0时，函数f(x)=(x-2ax)e_的图象大致是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

利用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．

解答：

解：由f(x)=0，解得x-2ax=0，即x=0或x=2a，

∵a＞0，∴函数f(x)有两个零点，∴A，C不正确．

设a=1，则f(x)=(x-2x)e_，

∴f'(x)=(x-2)e_，

由f'(x)=(x-2)e_＞0，解得x＞$\sqrt {2}$或x＜-$\sqrt {2}$．

由f'(x)=(x-2)e_＜0，解得-$\sqrt {2}$＜x＜$\sqrt {2}$，

即x=-$\sqrt {2}$是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．

故选B．

点评：

本题主要考查函数图象的识别和判断，充分利用函数的性质，本题使用特殊值法是判断的关键，本题的难度比较大，综合性较强．

12单选题

已知f′(x)是函数f(x)的导数，y=f′(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能是图中(　　)

题目答案

答案解析

分析：

根据导函数图象可确定函数的单调性，由此可得函数的图象．

解答：

解：根据导函数可知函数在(-∞，-1)上单调减，在(-1，1)上单调增，在(1，+∞)上单调减，结合图象可知y=f(x)的图象最有可能是图中B故选B．

点评：

本题考查导函数与原函数的关系，解题的关键是利用导函数看正负，原函数看增减，属于基础题．

13单选题

已知函数f(x)是R上的可导函数，f(x)的导数f′(x)的图象如图，则下列结论正确的是（　　）

a，c分别是极大值点和极小值点

b，c分别是极大值点和极小值点

f(x)在区间(a，c)上是增函数

f(x)在区间(b，c)上是减函数

题目答案

答案解析

分析：

由极值点的定义，即在导数为0的根的附近，考虑导数的符号，左负右正，为极小值点，左正右负，为极大值点，再由单调性的判断，导数大于0，即为增区间，小于0，即为减区间．即可判断A，B，D错，C对．

解答：

解：对于A，在x=a处导数左负右正，为极小值点，在x=c处导数左正右正，不为极值点，故A错；对于B，在x=b处导数不为0，在x=c处导数左正右正，不为极值点，故B错；对于C，f(x)在区间(a，c)上的导数大于0，则f(x)在区间(a，c)上是增函数，故C对；对于D，f(x)在区间(b，c)上的导数大于0，则f(x)在区间(b，c)上是增函数，故D错．故选C．

点评：

本题考查了利用导函数的图象研究函数的单调性、极值等性质，属于中档题．

14单选题

函数y=f′(x)是函数y=f(x)的导函数，且函数y=f(x)在点p(x_0，f(x_0))处的切线为l：y=g(x)=f′(x_0)(x-x_0)+f(x_0)，F(x)=f(x)-g(x)，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x_0＜b，那么(　　)

F′(x_0)=0，x=x_0是F(x)的极大值点

F′(x_0)=0，x=x_0是F(x)的极小值点

F′(x_0)≠0，x=x_0不是F(x)极值点

F′(x_0)≠0，x=x_0是F(x)极值点

题目答案

答案解析

分析：

先对函数F(x)进行求导，可确定F'(x_0)=0即x_0有可能是函数的极值点，然后再判断函数f(x)的增长快慢从而确定F(x)的单调性，得到结论．

解答：

解：∵F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f′(x_0)(x-x_0)-f(x_0)，

∴F'(x)=f'(x)-f′(x_0)

∴F'(x_0)=0，

又由a＜x_0＜b，得出

当a＜x＜x_0时，f'(x)＜f′(x_0)，F'(x)＜0，

当x_0＜x＜b时，f'(x)＜f′(x_0)，F'(x)＞0，

∴x=x_0是F(x)的极小值点

故选B．

点评：

本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即当函数取到极值时导函数一定等于0，反之当导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定是否有极值．

15单选题

函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)

1个

2个

3个

4个

题目答案

答案解析

分析：

由图象得：导函数f′(x)=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点．从而问题得解．

解答：

解：由图象得：导函数f′(x)=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点，故选：A．

点评：

本题考察了函数的极值问题，导数的应用，是一道基础题．

16单选题

已知在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)•f′(x)＜0的解集为(　　)

(-2，0)

(-∞，-2)∪(-1，0)

(-∞，-2)∪(0，+∞)

(-2，-1)∪(0，+∞)

题目答案

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分析：

函数y=f(x)(x∈R)的图象得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，得不等式f(x)f′(x)＜0的解集

解答：

解：由f(x)图象单调性可得f′(x)在(-∞，-1)∪(0，+∞)大于0，

在(-1，0)上小于0，

∴f(x)f′(x)＜0的解集为(-∞，-2)∪(-1，0)．

故选B．

点评：

考查识图能力，利用导数求函数的单调性是重点．

17单选题

设f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(　　)

题目答案

答案解析

分析：

由函数单调性和导数关系可得f(x)单调递增，且函数的增长先慢后快再变慢，结合选项可得答案．

解答：

解：由图可得f′(x)≥0，且导数值先小后大再变小，

对应f(x)单调递增，且函数的增长先慢后快再变慢，

结合选项可知选项D符合

故选：D

点评：

本题考查函数的单调性与导数的关系，属基础题．

18单选题

函数f(x)的图象如图所示，已知函数F(x)满足F′(x)=f(x)，则F(x)的函数图象可能是(　　)

题目答案

答案解析

分析：

先根据导函数f'(x)的图象得到f'(x)的取值范围，从而得到原函数的斜率的取值范围，从而得到正确选项．

解答：

解：由图可得-1＜f'(x)＜1，即F(x)图象上每一点切线的斜率k∈(-1，1)

且在R上切线的斜率的变化先慢后快又变慢，

结合选项可知选项B符合

故选B．

点评：

本题主要考查了导数的几何意义，同时考查了识图能力，属于基础题．

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