《求圆中三角形面积的最值》求圆中三角形面积的最值 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《求圆中三角形面积的最值》求圆中三角形面积的最值

1填空题

设m，n∈R，若直线l：mx+ny-1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x+y_=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

3

答案解析

分析：

由圆的方程找出圆心坐标和半径r，由直线l被圆截得的弦长与半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离，然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，两者相等列出关系式，整理后求出m_+n_的值，再由直线l与x轴交于A点，与y轴交于B点，由直线l的解析式分别令x=0及y=0，得出A的横坐标及B的纵坐标，确定出A和B的坐标，得出OA及OB的长，根据三角形AOB为直角三角形，表示出三角形AOB的面积，利用基本不等式变形后，将m_+n_的值代入，即可求出三角形AOB面积的最小值．

解答：

解：由圆x+y_=4的方程，得到圆心坐标为(0，0)，半径r=2，

∵直线l与圆x+y_=4相交所得弦CD=2，

∴圆心到直线l的距离d=$\sqrt {}$=$\sqrt {3}$，

∴圆心到直线l：mx+ny-1=0的距离d=$\frac {1}{$\sqrt {}$}$=$\sqrt {3}$，

整理得：m_+n_=$\frac {1}{3}$，

令直线l解析式中y=0，解得：x=$\frac {1}{m}$，

∴A($\frac {1}{m}$，0)，即OA=$\frac {1}{|m|}$，

令x=0，解得：y=$\frac {1}{n}$，

∴B(0，$\frac {1}{n}$)，即OB=$\frac {1}{|n|}$，

∵m_+n_≥2|mn|，当且仅当|m|=|n|时取等号，

∴|mn|≤$\frac {m_+n}{2}$，

又△AOB为直角三角形，

∴S_△ABC=$\frac {1}{2}$OA•OB=$\frac {1}{2|mn|}$≥$\frac {1}{m_+n}$=3，

则△AOB面积的最小值为3．

故答案为：3

点评：

此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，直线的一般式方程，以及基本不等式的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理俩来解决问题．

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2填空题

已知点P(x，y)是直线kx+y+4=0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x+y-2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k=．

填空题答案仅供参考

题目答案

2

答案解析

分析：

求出圆的圆心与半径，利用四边形的最小值求出PC的最小值，利用点到直线的距离求解即可．

解答：

解：圆C：x+y-2y=0⇒x+(y-1)_=1，圆心C(0，1)，半径为1；…(2分)

如图，∵PA=PB，CB⊥PB，CA⊥PA，

∴S_PACB=2•$\frac {1}{2}$•PA•CA=PA…(4分)．

∵S_PACD≥2，∴PA≥2…(6分)．

∵PC_=PA_+CA_=PA_+1，∴PC_≥5

即点C到直线的距离为$\sqrt {5}$…(8分)

所以d=$\frac {|1+4|}{$\sqrt {}$}$=$\sqrt {5}$，…(11分)

解得：k=±2(负舍)…(12分)

所以k=2…(13分)

点评：

本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．

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3单选题

已知P(2，0)为圆C：x+y-2x+2my+m_-7=0(m＞0)内一点，过点P的直线AB交圆C于A，B两点，若△ABC面积的最大值为4，则正实数m的取值范围为(          )

A
(-∞，1]
B
(-∞，2)
C
[$\sqrt {3}$，$\sqrt {7}$)
D
($\sqrt {5}$，$\sqrt {11}$]

题目答案

C

答案解析

分析：

根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用三角形面积的最大值，确定直线的位置，利用直线和方程的位置关系即可得到结论．

解答：

解：圆的标准方程为(x-1)_+(y+m)_=8，

则圆心C(1，-m)，半径r=2$\sqrt {2}$，

S_△ABC=$\frac {1}{2}$r_sin∠ACB≤8sin∠ACB，

∴当∠ACB=90时S取最大值4，

此时△ABC为等腰直角三角形，AB=$\sqrt {2}$r=4，

则C到AB距离等于2，

∴2≤PC＜2$\sqrt {2}$，

即2≤$\sqrt {}$＜2$\sqrt {2}$，

∴4≤m_+1＜8，

即3≤m_＜7，

∵m＞0，

∴解得$\sqrt {3}$≤m＜$\sqrt {7}$，

故答案为：[$\sqrt {3}$，$\sqrt {7}$)，选C．

点评：

本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．

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4单选题

已知圆C：(x-a)_+(y-a)_=1(a＞0)与直线y=3x相交于P，Q两点，则当△CPQ的面积最大时，此时实数a的值为(       )

A
$\frac {1}{2}$
B
$\frac {3}{2}$
C
$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$
D
$\frac {$\sqrt {5}$}{2}$

题目答案

D

答案解析

分析：

求出圆的圆心坐标与半径，利用圆心到直线的距离与半弦长求解三角形的面积，然后求出最大值即可．

解答：

解：圆C：(x-a)_+(y-a)_=1(a＞0)的圆心(a，a)半径为1，

圆心到直线的距离d=$\frac {2a}{$\sqrt {10}$}$，半弦长为：$\sqrt {}$=$\frac {$\sqrt {}$}{$\sqrt {10}$}$，

∴△CPQ的面积S=$\frac {2a}{$\sqrt {10}$}$•$\frac {$\sqrt {}$}{$\sqrt {10}$}$=$\frac {$\sqrt {}$}{5}$=$\frac {$\sqrt {}$}{5}$，

当a_=$\frac {10}{8}$时10a_-4a_取得最大值，最大值为：10×$\frac {10}{8}$-4×($\frac {10}{8}$)_，

∴△CPQ的面积S的最大值为：$\frac {$\sqrt {}$}{5}$=$\frac {1}{2}$．

此时a=$\frac {$\sqrt {5}$}{2}$

故答案为：$\frac {$\sqrt {5}$}{2}$，选D．

点评：

本题考查直线与圆的位置关系的应用，三角形面积的最值的求法，点到直线的距离公式的应用等知识，考查分析问题解决问题的能力．

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5单选题

已知两点A(-2，0)，B(0，2)，点C是圆x+y-2x=0上的任意一点，则△ABC的面积最小值是(        )

A
3-$\sqrt {2}$
B
4-2$\sqrt {2}$
C
3
D
4

题目答案

A

答案解析

分析：

求出直线方程，圆心坐标与半径，从而可得圆上的点到直线距离的最小值进而可求△ABC的面积最小值．

解答：

解：直线AB的方程为$\frac {x}{-2}$+$\frac {y}{2}$=1，即x-y+2=0．

圆x+y-2x=0，可化为(x-1)_+y_=1，

∴圆心(1，0)到直线的距离为d=$\frac {|1-0+2|}{$\sqrt {2}$}$=$\frac {3$\sqrt {2}$}{2}$，

圆上的点到直线距离的最小值为 $\frac {3$\sqrt {2}$}{2}$-1．

∵|AB|=2$\sqrt {2}$，∴△ABC的面积最小值是 $\frac {1}{2}$×2$\sqrt {2}$×($\frac {3$\sqrt {2}$}{2}$-1)=3-$\sqrt {2}$，

故答案为：3-$\sqrt {2}$，选A．

点评：

本题主要考查用截距式求直线的方程，点到直线的距离公式、直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．

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6单选题

已知AC，BD为圆O：x+y_=4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，$\sqrt {2}$)，则四边形ABCD的面积的最大值为（　　）

A
4
B
4$\sqrt {2}$
C
5
D
5$\sqrt {2}$

题目答案

C

答案解析

分析：

设圆心到AC、BD的距离分别为d$_1$、d$_2$，则 d$_1$_+d$_2$_=3，代入面积公式S=$\frac {1}{2}$AC×BD，使用基本不等式求出四边形ABCD的面积的最大值．

解答：

解：设圆心O到AC、BD的距离分别为d$_1$、d$_2$，

则d$_1$_+d$_2$_=OM_=3．

四边形ABCD的面积为：

S=$\frac {1}{2}$|AB|•|CD|=2$\sqrt {}$≤8-($_1$+$_2$)=5，当且仅当d$_1$_=d$_2$_时取等号，

故选 C．

点评：

本题考查圆中弦长公式的应用以及基本不等式的应用，四边形面积可用互相垂直的两条对角线长度之积的一半来计算．

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7填空题

已知AC、BD为圆O：x+y_=4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，$\sqrt {2}$)，则四边形ABCD的面积的最大值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

5

答案解析

分析：

设圆心到AC、BD的距离分别为d$_1$、d$_2$，则 d$_1$_+d$_2$_=3，代入面积公式s=$\frac {1}{2}$AC×BD，使用基本不等式求出四边形ABCD的面积的最大值．

解答：

解：如图

连接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分别为E、F

∵AC⊥BD

∴四边形OEMF为矩形

已知OA=OC=2 OM=$\sqrt {3}$，

设圆心O到AC、BD的距离分别为d$_1$、d$_2$，

则d$_1$_+d$_2$_=OM_=3．

四边形ABCD的面积为：s=$\frac {1}{2}$•|AC|(|BM|+|MD|)，

从而：

s=$\frac {1}{2}$|AC|•|BD|=2$\sqrt {}$≤8-($_1$+$_2$)=5，

当且仅当d$_1$_=d$_2$_时取等号，

故答案为：5．

点评：

此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．解答关键是四边形面积可用互相垂直的两条对角线长度之积的一半来计算．

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