《归纳推理》归纳推理

1单选题

观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解(x，y)的个数为12 …．则|x|+|y|=20的不同整数解(x，y)的个数为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

观察可得不同整数解的个数可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，则所求为第20项，可计算得结果．

解答：

解：观察可得不同整数解的个数4，8，12，…可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，

通项公式为a_n=4n，则所求为第20项，所以a$_2$0=80

故选B．

点评：

本题考查归纳推理，分析寻找关系式内部，关系式与关系式之间数字的变化特征，从特殊到一般，进行归纳推理．

2单选题

观察下列各式：7_=49，7_=343，7_=2401，…，则7_的末两位数字为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

根据题意，进一步计算出7_、7_、7_、7_、7_的末两位数字，分析可得其末两位数字具有“周期性”，进而可得7_的与7_对应，即可得答案．

解答：

解：根据题意，7_=49，7_=343，7_=2401，则7_的末两位数字为07，

进而可得7_的末两位数字为49，7_的末两位数字为43，7_的末两位数字为01，7_的末两位数字为07，

…

分析可得规律：n从2开始，4个一组，7_的末两位数字依次为49、43、01、07，

则7_的与7_对应，其末两位数字43；

故选B．

点评：

本题考查归纳推理，注意根据题意，发现其变化的规律，尤其注意处理“周期”性的规律与n的对应关系．

3单选题

观察下列各式：5_=3125，5_=15625，5_=78125，…，则5_的末四位数字为（　　）

3125

5625

0625

8125

题目答案

答案解析

分析：

根据所给的以5 为底的幂的形式，再写出后面的几项，观察出这些幂的形式是有一定的规律的每四个数字是一个周期，用2011除以4看出余数，得到结果．

解答：

解：∵5_=3125，5_=15625，5_=78125，

5_=390625，5_=1953125，5_=9765625，5_=48828125…

可以看出这些幂的最后4位是以4为周期变化的，

∵2011÷4=502…3，

∴5_的末四位数字与5_的后四位数相同，是8125，

故选D．

点评：

本题考查归纳推理，考查幂的周期性，这种题目的解法一般是看出式子的变化规律，根据规律做出要求的结果．

4填空题

观察下列等式：

①cos2α=2cos_α-1；

②cos4α=8cos_α-8cos_α+1；

③cos6α=32cos_α-48cos_α+18cos_α-1；

④cos8α=128cos_α-256cos_α+160cos_α-32cos_α+1；

⑤cos10α=mcos_α-1280cos_α+1120cos_α+ncos_α+pcos_α-1；

可以推测，m-n+p=．

填空题答案仅供参考

题目答案

962

答案解析

分析：

本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等．观察等式左边的α的系数，等式右边m，n，p的变化趋势，我们不难归纳出三个数的变化规律，进而得到结论．

解答：

解：因为2=2_，8=2_，32=2_，…，128=2_所以m=2_=512；

观察可得n=-400，p=50，

所以m-n+p=962．

故答案为：962

点评：

归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．

5单选题

观察1=1_，2+3+4=3_，3+4+5+6+7=5_ 得出的一般性结论是（　　）

1+2…+n=(2n-1)_(n∈N_)

n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)_(n∈N_)

n+(n+1)+…+(2n-1)=(2n-1)_(n∈N_)

1+2…+n=(3n-1)_(n∈N_)

题目答案

答案解析

分析：

由1=1_，2+3+4=3_，3+4+5+6+7=5_，4+5+6+7+8+9+10=7_我们发现，等式左边都是从n开始，连续n个正整数的累加和，右边都是2n-1的平方的形式．故我们可以由此推断出一般性结论．

解答：

解：由1=1_=(2×1-1)_；

2+3+4=3_=(2×2-1)_；

3+4+5+6+7=5_=(2×3-1)_；

4+5+6+7+8+9+10=7_=(2×4-1)_；

…

由上边的式子，

总结得出：第n个等式的左边的第一项为n，接下来依次加1，共有2n-1项，等式右边是2n-1的平方，

从而我们可以推断一般性结论是：

n+n+1+…+2n-1+…+3n-2=(2n-1)_(n∈N_)

故选B．

点评：

本题考查归纳推理的灵活运用，归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．解题时要注意观察，善于总结．

6单选题

设f_0(x)=cosx，f$_1$(x)=f_0_(x)，…，f_n+1(x)=f_n_(x)，n∈N，则f$_2$013(x)=( )

sinx

-sinx

cosx

-cosx

题目答案

答案解析

分析：

根据题中已知条件先找出函数f_n(x)的规律，便可发现f_n(x)的循环周期为4，从而求出f$_2$013(x)的值．

解答：

解：∵f_0(x)=cosx

f$_1$(x)=f_0′(x)=-sinx

f$_2$(x)=f$_1$′(x)=-cosx

f$_3$(x)=f$_2$′(x)=sinx

f$_4$(x)=f$_3$′(x)=cosx

…

由上面可以看出，以4为周期进行循环

∴f$_2$013(x)=f$_1$(x)=-sinx．

故答案为：-sinx，选B．

点评：

本题考查三角函数求导、函数周期性的应用，考查观察、归纳方法的应用．

7填空题

把数列{2n+1}(n∈N_)，依次按第1个括号一个数，第2个括号两个数，第3个括号三个数，第4个括号四个数，第5个括号一个数，…，循环为(3)，(5，7)，(9，11，13)，(15，17，19，21)，(23)，(25，27)，(29，31，33)，(35，37，39，41)，(43)，…，则2013是第个括号内的数．

填空题答案仅供参考

题目答案

403

答案解析

分析：

括号里的数有一定规律：即每四个一组，各组里面的数都有1+2+3+4=10个数．且每四个一组的第1个括号一个数构成一个首项为3公差为20的等差数列，设2013是每四个一组中第n个小组内的数，根据规律即可找出n的值．

解答：

解：括号里的数有规律：即每四个一组，里面的数都是1+2+3+4=10，

且每四个一组的第1个括号里一个数构成一个首项为3公差为20的等差数列，

故每四个一组中第n个小组内的第一个数的通项公式为：3+20(n-1)=20n-17，

设2013是每四个一组中第n个小组内的数，

由20n-17=2013，⇒n≈101，

从而每四个一组中第101个小组内的第一个数是20×101-17=2003，即第401个括号内的数是2003，

接下来，第402个括号内的数是2005，2007，

第403个括号内的数是2009，2011，2013．

则2013是第 403个括号内的数．

故答案为：403．

点评：

本题是等差数列的通项公式的简单运用及等差数列的求和公式，属于基本知识的运用，试题较易．

8填空题

把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第100个括号内的数为．

填空题答案仅供参考

题目答案

397

答案解析

分析：

括号里的数有规律：即每三个一组，里面的数都是1+2+3=6，所以到第100个括号内的数为第34组的第一个数，即可得出结论．

解答：

解：括号里的数有规律：即每三个括号算一组，里面的数个数都是1+2+3=6个，

所以到第100个括号内的数为第34组的第一个数，

第100个括号内的数为是2×(33×6+1)-1=397．

故答案为：397

点评：

本题是等差数列的通项公式的简单运用及等差数列的求和公式，属于基本知识的运用，试题较易．

9单选题

如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是(　　)

题目答案

答案解析

分析：

本题考查的归纳推理，要根据前3个图形的变化规律，探究变化趋势，并进行猜测，根据猜想的结论，进行判断．因为图中三个图形中，每一次变化相当于“顺时针”旋转2个角，所以不难根据这些规律选择正确的答案．

解答：

解：观察已知的三个图象，

每一次变化相当于“顺时针”旋转2个角，

根据这些规律观察四个答案，

发现A符合要求．

故选A

点评：

归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．

10单选题

2_个位上的数字为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

利用2_=2，2_=32，2_=512，从中寻找周期性规律即可得到答案．

解答：

解：∵2_=2，2_=4，2_=8，2_=16，

2_=32，2_=64，2_=128，2_=256，

2_=512，2_=1024，2_=2048，2_=4096，

…

∴2_(n∈N_)个位上的数字呈现出4为周期的规律，

而2012÷4=503，即2012能被4整除，由上述规律可得，2_个位上的数字为6．

故选C．

点评：

本题考查2_个位上的数字的周期性规律，考查分析转化解决问题的能力，属于中档题．

11单选题

已知整数以按如下规律排成一列：(1，1)、(1，2)、(2，1)、(1，3)、(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个数对是（　　）

(10，1)

(2，10)

(5，7)

(7，5)

题目答案

答案解析

分析：

我们可以在平面直角坐标系中，将：(1，1)、(1，2)、(2，1)、(1，3)、(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，按顺序连线，然后分析这些点的分布规律，然后归纳推断出，点的排列规律，再求出第60个数对

解答：

解：我们在平面直角坐标系中，将各点按顺序连线，如下图示：

有(1，1)为第1项，(1，2)为第2项，(1，3)为第4项，…(1，11)为第56项，因此第60项为(5，7)．

点评：

本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．

12填空题

对大于1的自然数m的三次幂，可用奇数进行以下方式的拆分：

2_=3+5

3_=7+9+11

4_=13+15+17+19

…

若121在m_的拆分中，则m的值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由题意知，n的三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可找出m_的“分裂数”中有一个是121时，m的值．

解答：

解：由题意，从2_到m_，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=$\frac {(m+2)(m-1)}{2}$个，

121是从3开始的第60个奇数

当m=10时，从2_到10_，用去从3开始的连续奇数共$\frac {12×9}{2}$=54个

当m=11时，从2_到11_，用去从3开始的连续奇数共$\frac {13×10}{2}$=65个

故m=11，

故答案为：11．

点评：

本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键．

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