《解一元二次不等式》解一元二次不等式

1单选题

下列选项中，使不等式x＜$\frac {1}{x}$＜x_成立的x的取值范围是（　　）

(-∞，-1)

(-1，0)

(0，1)

(1，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

通过x=-$\frac {1}{2}$，$\frac {1}{2}$，2验证不等式是否成立，排除选项B、C、D．即可得到正确选项．

解答：

解：利用特殊值排除选项，不妨令x=-$\frac {1}{2}$时，代入x＜$\frac {1}{x}$＜x-$\frac {1}{2}$＜-2＜$\frac {1}{4}$，显然不成立，选项B不正确；

当x=$\frac {1}{2}$时，代入x＜$\frac {1}{x}$＜x_$\frac {1}{2}$＜2＜$\frac {1}{4}$，显然不正确，排除C；

当x=2时，代入x＜$\frac {1}{x}$＜x$_2$＜$\frac {1}{2}$＜4，显然不正确，排除D．

故选A．

点评：

本题考查分式不等式的解法，由于本题是选择题，利用特殊值验证法是快速解答选择题的一种技巧．当然可以直接解答，过程比较复杂．

2单选题

不等式$\frac {x-1}{x+2}$＜0的解集为（　　）

(1，+∞)

(-∞，-2)

(-2，1)

(-∞，-2)∪(1，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

直接转化分式不等式为二次不等式求解即可．

解答：

解：不等式$\frac {x-1}{x+2}$＜0等价于(x-1)(x+2)＜0，所以表达式的解集为：{x|-2＜x＜1}．

故选C．

点评：

本题考查分式不等式的求法，考查转化思想计算能力．

3单选题

已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|(x+1)(x-3)＞0}，则A∩B=（　　）

(-∞，-1)

(-1，-$\frac {2}{3}$)

﹙-$\frac {2}{3}$，3﹚

(3，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

求出集合B，然后直接求解A∩B．

解答：

解：因为B={x∈R|(x+1)(x-3)＞0﹜={x|x＜-1或x＞3}，

又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x＞-$\frac {2}{3}$}，

所以A∩B={x|x＞-$\frac {2}{3}$}∩{x|x＜-1或x＞3}={x|x＞3}，

故选D．

点评：

本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力．

4单选题

不等式$\frac {x-x-6}{x-1}$＞0的解集为（　　）

{x|x＜-2或x＞3}

{x|x＜-2或1＜x＜3}

{x|-2＜x＜1或x＞3}

{x|-2＜x＜1或1＜x＜3}

题目答案

答案解析

分析：

解$\frac {f(x)}{g(x)}$＞0，可转化成f(x)•g(x)＞0，再利用根轴法进行求解．

解答：

解：$\frac {x-x-6}{x-1}$＞0⇔$\frac {(x-3)(x+2)}{(x-1)}$＞0⇔(x-3)(x+2)(x-1)＞0

利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，

故选C．

点评：

本试题主要考查分式不等式与高次不等式的解法，属于不等式的基础题．

5单选题

不等式$\frac {x-2}{x+3}$＞0的解集是（　　）

(-3，2)

(2，+∞)

(-∞，-3)∪(2，+∞)

(-∞，-2)∪(3，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

直接求解或转化为二次不等式求解．

解答：

解：不等式$\frac {x-2}{x+3}$＞0⇔(x-2)(x+3)＞0的解集是(-∞，-3)∪(2，+∞)，

故选C．

点评：

本题为解简单的分式不等式，较简单．

6单选题

不等式$\frac {x-1}{x-4}$＞0的解集是（　　）

(2，+∞)

(-2，1)∪(2，+∞)

(-2，1)

(-∞，-2)∪(1，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

首先不等式$\frac {x-1}{x-4}$＞0的分母可化为(x+2)(x-2)，不等式的分子和分母共由3个一次因式构成．要使得原不等式大于0，可等同于3个因式的乘积大于0，再可根据串线法直接求解．

解答：

解：依题意，原不等式$\frac {x-1}{x-4}$＞0可化为$\frac {x-1}{(x+2)(x-2)}$＞0

等同于(x+2)(x-1)(x-2)＞0，

可根据串线法直接解得-2＜x＜1或x＞2，

故答案应选B．

点评：

此题主要考查不等式的求解问题，对题中这种类型或者是几个一次因子积的形式的不等式，如果是选择题可直接用串线法求解．

7单选题

若a＞0，b＞0，则不等式-b＜$\frac {1}{x}$＜a等价于（　　）

-$\frac {1}{b}$＜x＜0或0＜x＜$\frac {1}{a}$

-$\frac {1}{a}$＜x＜$\frac {1}{b}$

x＜-$\frac {1}{a}$或x＞$\frac {1}{b}$

x＜-$\frac {1}{b}$或x＞$\frac {1}{a}$

题目答案

答案解析

分析：

由题设不等式-b＜$\frac {1}{x}$＜a，进行等价变换，然后进行移项、通分、求解．

解答：

解：

-b＜$\frac {1}{x}$＜a⇔$\left\{\begin{matrix}$\frac {1}{x}$+b＞0 \ $\frac {1}{x}$-a＜0 \ \end{matrix}\right.$⇔$\left\{\begin{matrix}$\frac {1+bx}{x}$＞0 \ $\frac {1-ax}{x}$＜0 \ \end{matrix}\right.$

⇔$\left\{\begin{matrix}x(bx+1)＞0 \ x(1-ax)＜0 \ \end{matrix}\right.$⇔$\left\{\begin{matrix}x＞0或x＜-$\frac {1}{b}$ \ x＞$\frac {1}{a}$或x＜0 \ \end{matrix}\right.$⇒x＜-$\frac {1}{b}$或x＞$\frac {1}{a}$

故选D．

点评：

此题考查不等关系与不等式的性质，解题的关键是利用已知条件进行变形．

8单选题

不等式2x-x≤1的解集为（　　）

[-$\frac {1}{2}$，1]

[0，$\frac {1}{2}$]

(-∞，-$\frac {1}{2}$)∪[1，+∞)

(-∞，-$\frac {1}{2}$]∪[1，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

先化2x-x≤1为2x-x-1≤0，根据二次函数的性质可得答案．

解答：

解：2x-x≤1可化为2x-x-1≤0，解得-$\frac {1}{2}$≤x≤1，

故选A．

点评：

本题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解决问题的关键．

9单选题

在实数范围内不等式2x＜x+1的解集为（　　）

∅

{x|x≠1}

{x|x＞1，或x＜-1}

题目答案

答案解析

分析：

不等式2x＜x+1化为x-2x+1＞0，即(x-1)_＞0，即可得出．

解答：

解：不等式2x＜x+1化为x-2x+1＞0，即(x-1)_＞0，∴x≠1．

因此不等式2x＜x+1的解集为{x|x≠1}．

故选：C．

点评：

本题考查了不等式的解法，属于基础题．

10单选题

不等式$\frac {(x-a)_(x+b)}{x-c}$≤0的解集为{x|-1＜x≤0或x=2}，则点(a，b+c)在（　　）

第四象限

第三象限

第二象限

第一象限

题目答案

答案解析

分析：

可利用解高次不等式的穿根法求得a，b+c的值，从而得到选项．

解答：

解：∵$\frac {(x-a)_(x+b)}{x-c}$≤0的解为{x|-1＜x≤0或x=2}，如图

∵x-c≠0，∴-1是x-c=0的根，

结合图形可知0是x+b=0的根，2是方程(x-a)_=0的根．

∴c+b=-1，a=2

∴点(a，b+c)为(2，-1)，位于第四象限．

故选：A．

点评：

本题考查高次不等式的解法--标根法的应用，关键在于掌握标根法的特点与应用规律，属于中档题．

11单选题

已知a＞0，b＞0，则不等式a＞$\frac {1}{x}$＞-b的解是（　　）

-$\frac {1}{a}$＜x＜$\frac {1}{b}$

$\frac {1}{a}$＜x＜-$\frac {1}{b}$

-$\frac {1}{b}$＜x＜0，或x＞$\frac {1}{a}$

x＜-$\frac {1}{b}$，或x＞$\frac {1}{a}$

题目答案

答案解析

分析：

由a＞0，a＞$\frac {1}{x}$，化为$\frac {ax-1}{x}$＞0⇔x(x-$\frac {1}{a}$)＞0，求得解集．由b＞0，$\frac {1}{x}$＞-b，化为$\frac {1+bx}{x}$＞0⇔x(x+$\frac {1}{b}$)＞0，求得解集．再求出交集即可．

解答：

解：由a＞0，a＞$\frac {1}{x}$，化为$\frac {ax-1}{x}$＞0⇔x(x-$\frac {1}{a}$)＞0，解得x＞$\frac {1}{a}$或x＜0．

由b＞0，$\frac {1}{x}$＞-b，化为$\frac {1+bx}{x}$＞0⇔x(x+$\frac {1}{b}$)＞0，解得x＞0或x＜-$\frac {1}{b}$．

∴不等式a＞$\frac {1}{x}$＞-b的解集是{x|x＞$\frac {1}{a}$或x＜0}∩{x|x＞0或x＜-$\frac {1}{b}$}={x|x＞$\frac {1}{a}$或x＜-$\frac {1}{b}$}．

故选：D．

点评：

本题考查了分式不等式的等价转化方法和一元二次不等式的解法，属于中档题．

12单选题

不等式(x+$\frac {1}{2}$)($\frac {3}{2}$-x)≥0的解集是（　　）

{x|-$\frac {1}{2}$≤x≤$\frac {3}{2}$}

{x|x≤-$\frac {1}{2}$或x≥$\frac {3}{2}$}

{x|-$\frac {1}{2}$＜x＜$\frac {3}{2}$}

{x|x＜-$\frac {1}{2}$或x＞$\frac {3}{2}$}

题目答案

答案解析

分析：

根据两数相乘的符号法则：同号得正，异号得负，原不等式可化为 $\left\{\begin{matrix}$\frac {3}{2}$-x≥0 \ x+$\frac {1}{2}$≥0 \ \end{matrix}\right.$或$\left\{\begin{matrix}$\frac {3}{2}$-x≤0 \ x+$\frac {1}{2}$≤0 \ \end{matrix}\right.$，即可求出不等式的解集，

解答：

解：不等式(x+$\frac {1}{2}$)($\frac {3}{2}$-x)≥0，

可化为 $\left\{\begin{matrix}$\frac {3}{2}$-x≥0 \ x+$\frac {1}{2}$≥0 \ \end{matrix}\right.$①或$\left\{\begin{matrix}$\frac {3}{2}$-x≤0 \ x+$\frac {1}{2}$≤0 \ \end{matrix}\right.$②，

解①得：-$\frac {1}{2}$≤x≤$\frac {3}{2}$，解②得：x∈∅，

故选A．

点评：

本小题主要考查一元二次不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．

13单选题

不等式$\frac {2}{x}$＞x-1的解集为（　　）

{x|x＜-2或0＜x＜1}

{x|x＜-1或0＜x＜2}

{x|-1＜x＜0或x＞2}

{x|-2＜x＜0或x＞1}

题目答案

答案解析

分析：

把要解的不等式转化为$\frac {(x-2)•(x+1)}{x}$＜0，由此求得解集．

解答：

解：由不等式$\frac {2}{x}$＞x-1可得$\frac {x-x-2}{x}$＜0，即 $\frac {(x-2)•(x+1)}{x}$＜0，把分式中各个根排列在数轴上，

由穿根法解得 x＜-1或0＜x＜2，故原不等式的解集为{x|x＜-1或0＜x＜2}，

故选B．

点评：

本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．

14单选题

关于x的不等式$\frac {(x-a)(x-b)}{x-c}$≥0的解为-1≤x＜2或x≥3，则点P(a+b，c)位于（　　）

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

题目答案

答案解析

分析：

先根据条件求得a、b、c的值，可得点P的坐标，从而得出结论．

解答：

解：由于不等式 $\frac {(x-a)(x-b)}{x-c}$≥0的解集为-1≤x＜2或x≥3，

如图所示：故有 a=-1、b=3、c=2；

或者a=3、b=-1、c=2．

故有 a+b=2，且c=2，故点P的坐标为(2，2)，显然点P在第一象限，

故选：A．

点评：

本题主要考查用穿根法解分式不等式、高次不等式，属于中档题．

15单选题

不等式(x-5)(6-x)＞0的解集是（　　）

(-∞，5)

(6，+∞)

(5，6)

(-∞，5)∪(6，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

【方法一】按照一元二次不等式的一般解法步骤求解，即化为一般形式，判定对应方程是否有解，求实数解，写出不等式的解集；

【方法二】对f(x)g(x)＞0(或＜0)型的不等式，可以按照符号法则化为不等式组解答．

解答：

解：【方法一】不等式(x-5)(6-x)＞0可化为

x-11x+30＜0，

∵(-11)_-4×1×30=121-120=1＞0，

∴方程x-11x+30=0有二不等实根，

解得x$_1$=5，x$_2$=6；

∴原不等式的解集是{x|5＜x＜6}；

【方法二】∵(x-5)(6-x)＞0，

∴(x-5)(x-6)＜0，

由符号法则，

得$\left\{\begin{matrix}x-5＞0 \ x-6＜0 \ \end{matrix}\right.$，或$\left\{\begin{matrix}x-5＜0 \ x-6＞0 \ \end{matrix}\right.$，

解得5＜x＜6，

∴原不等式的解集为(5，6)；

故选：C．

点评：

本题考查了一元二次不等式的解法问题，是基础题．

16单选题

不等式x-3x+2＜0的解集是（　　）

(-∞，1)

(2，+∞)

(-∞，1)∪(2，+∞)

(1，2)

题目答案

答案解析

分析：

利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答：

解：不等式x-3x+2＜0可化为(x-1)(x-2)＜0，∴1＜x＜2．

∴不等式x-3x+2＜0的解集是{x|1＜x＜2}．

故选D．

点评：

熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．

17单选题

已知不等式x-2≤$\frac {a}{x}$的解集为{x|x≤-1或0＜x≤3}，则实数a的值为（　　）

-3

-1

题目答案

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分析：

把不等式右边移项到左边，通分后设分子为0，得到关于x的方程，设出方程的两根为x$_1$，x$_2$，且x$_1$＜x$_2$，在数轴上画出不等式的解集，由已知的解集得到x$_1$与x$_2$的值，利用韦达定理即可求出a的值．

解答：

解：不等式x-2≤$\frac {a}{x}$变形为：$\frac {x-2x-a}{x}$≤0，

设x-2x-a=0的两根为x$_1$，x$_2$，且x$_1$＜x$_2$，

其解集为：

∴x$_1$=-1，x$_2$=3，

∴$\left\{\begin{matrix}x$_1$+ x$_2$=2 \ x$_1$x$_2$=-a \ \end{matrix}\right.$，及-a=-1×3，

则a的值为3．

故选D

点评：

此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有方程解与不等式的关系，以及韦达定理，利用了转化及数形结合的思想．把原不等式适当变形后，设出令分子等于0时方程的两根，从而借助图形画出不等式的解集是解本题的关键．

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