《两角和与差的正切》两角和与差的正切

1单选题

已知tana=4，cotβ=$\frac {1}{3}$，则tan(a+β)=（　　）

$\frac {7}{11}$

-$\frac {7}{11}$

$\frac {7}{13}$

-$\frac {7}{13}$

题目答案

答案解析

分析：

由已知中cotβ=$\frac {1}{3}$，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出β角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案．

解答：

解：∵tana=4，cotβ=$\frac {1}{3}$，

∴tanβ=3

∴tan(a+β)=$\frac {tana+tanβ}{1-tanatanβ}$=$\frac {4+3}{1-3×4}$=-$\frac {7}{11}$

故选B

点评：

本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出β角的正切值是解答本题的关键．

2单选题

已知α∈($\frac {π}{2}$，π)，sinα=$\frac {3}{5}$，则tan(α+$\frac {π}{4}$)等于（　　）

$\frac {1}{7}$

-$\frac {1}{7}$

-7

题目答案

答案解析

分析：

先根据sinα的值求出tanα，然后根据两角和与差的正切公式可得答案．

解答：

解：已知α∈($\frac {π}{2}$，π)，sinα=$\frac {3}{5}$，则tanα=-$\frac {3}{4}$，

∴tan(α+$\frac {π}{4}$)=$\frac {1+tanα}{1-tanα}$=$\frac {1}{7}$，

故选A．

点评：

本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．

3单选题

化简$\frac {1+tan15°}{1-tan15°}$等于（　　）

$\sqrt {3}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

先把tan45°=1代入原式，根据正切的两角和公式化简整理即可求得答案．

解答：

解：$\frac {1+tan15°}{1-tan15°}$=$\frac {tan45°+tan15°}{1-tan45°tan15°}$=tan(45°+15°)=tan60°=$\sqrt {3}$

故选A

点评：

本题主要考查了两角和与差的正切函数．题中巧妙的利用了1=tan45°构建了正切的两角和公式．

4填空题

tan18°+tan27°+tan18°•tan27°=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

观察发现：18°+27°=45°，故利用两角和的正切函数公式表示出tan(18°+27°)，利用特殊角的三角函数值化简，变形后即可得到所求式子的值．

解答：

解：由tan45°=tan(18°+27°)=$\frac {tan18°+tan27°}{1-tan18°tan27°}$=1，

得到tan18°+tan27°=1-tan18°tan27°，

则tan18°+tan27°+tan18°•tan27°=1．

故答案为：1

点评：

此题考查了两角和与差得正切函数公式，以及特殊角的三角函数值．观察所求式子中的角度的和为45°，联想到利用45°角的正切函数公式是解本题的关键．

5填空题

如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别交单位圆于A、B两点．已知A、B两点的横坐标分别是$\frac {$\sqrt {2}$}{10}$、$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$．求tan(α+β)的值=．

填空题答案仅供参考

题目答案

-3

答案解析

分析：

利用cosα=$\frac {$\sqrt {2}$}{10}$，cosβ=$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$，α、β均为锐角，可求得sinα与sinβ的值，进而可得tanα=7，tanβ=$\frac {1}{2}$，利用两角和的正切即可求得答案．

解答：

解：∵cosα=$\frac {$\sqrt {2}$}{10}$，cosβ=$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$，α、β均为锐角，

∴sinα=$\sqrt {}$=$\frac {7$\sqrt {2}$}{10}$，sinβ=$\sqrt {}$=$\frac {$\sqrt {5}$}{5}$，

∴tanα=7，tanβ=$\frac {1}{2}$，

∴tan(α+β)=$\frac {tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac {7+$\frac {1}{2}$}{1-7×$\frac {1}{2}$}$=-3．

故答案为：-3．

点评：

本题考查任意角的三角函数的定义，考查同角三角函数间的关系式及两角和的正切，属于中档题．

6单选题

tan20°+tan40°+$\sqrt {3}$tan20°•tan40°的值是（　　）

$\sqrt {3}$

-$\sqrt {3}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

-$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

先利用两角和的正切公式的变形tanα+tanβ=tan(α+β)[1-tanαtanβ]将tan20°+tan40°转化，再利用tan60°=$\sqrt {3}$化简即可

解答：

解：tan20°+tan40°+$\sqrt {3}$tan20°•tan40°

=tan(20°+40°)[1-tan20°tan40°]+$\sqrt {3}$tan20°•tan40°

=$\sqrt {3}$[1-tan20°tan40°]+$\sqrt {3}$tan20°•tan40°

=$\sqrt {3}$-$\sqrt {3}$tan20°•tan40°+$\sqrt {3}$tan20°•tan40°

=$\sqrt {3}$

故选A

点评：

本题考查了两角和的正切公式的变形公式的运用，特殊角三角函数值在化简中的应用

7填空题

若tanα=$\frac {1}{2}$，则tan(α+$\frac {π}{4}$)=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

根据tanα的值和两角和与差的正切公式可直接得到答案．

解答：

解：∵tanα=$\frac {1}{2}$

∴tan(α+$\frac {π}{4}$)=$\frac {tanα+1}{1-tanα}$=$\frac {$\frac {1}{2}$+1}{1-$\frac {1}{2}$}$=3

故答案为：3．

点评：

本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．

8填空题

设tanα和tanβ是方程mx+(2m-3)x+m-2=0的两个实根，则tan(α+β)的最小值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {3}{4}$

答案解析

分析：

先根据tanα和tanβ是方程mx+(2m-3)x+m-2=0的两个实根，得到两根之和以及两根之积的表达式，并根据有根得到m的取值范围，再结合两角和的正切公式即可得到结论．

解答：

解：∵△=(2m-3)_-4m(m-2)=-4m+9≥0，∴m≤$\frac {9}{4}$且m≠0，

tanα+tanβ=-$\frac {2m-3}{m}$，tanα•tanβ=$\frac {m-2}{m}$．

∴tan(α+β)=$\frac {-$\frac {2m-3}{m}$}{1-$\frac {m-2}{m}$}$=$\frac {3-2m}{m-(m-2)}$=$\frac {3-2m}{2}$≥-$\frac {3}{4}$且≠$\frac {3}{2}$．

故答案为：-$\frac {3}{4}$．

点评：

本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系以及两角和的正切公式的应用．考查计算能力．

9单选题

已知在△ABC中满足：tanA•tanB=1+$\sqrt {3}$(tanA+tanB)，则角C等于（　　）

$\frac {π}{6}$

$\frac {π}{3}$

$\frac {2π}{3}$

$\frac {5}{6}$π

题目答案

答案解析

分析：

根据tanA•tanB=1+$\sqrt {3}$(tanA+tanB)，可得tan(A+B)=$\frac {tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$，即可求出C．

解答：

解：∵tanA•tanB=1+$\sqrt {3}$(tanA+tanB)，

∴tan(A+B)=$\frac {tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$，

∴tanC=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$，

∴C=$\frac {π}{6}$．

故选：A．

点评：

本题主要考查两角和的正切公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．

10填空题

如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为$\frac {1}{$\sqrt {5}$}$；B点的纵坐标为$\frac {1}{5$\sqrt {2}$}$．则tan(α+β)的值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

根据A的横坐标求出cosα的值，B的纵坐标求出sinβ的值，进而确定出tanα与tanβ的值，所求式子利用两角和与差的正切函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：

解：根据题意得：A($\frac {1}{$\sqrt {5}$}$，$\frac {2}{$\sqrt {5}$}$)，B($\frac {7}{5$\sqrt {2}$}$，$\frac {1}{5$\sqrt {2}$}$)，

∴tanα=2，tanβ=$\frac {1}{7}$，

则tan(α+β)=$\frac {tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac {2+$\frac {1}{7}$}{1-2×$\frac {1}{7}$}$=3．

故答案为：3

点评：

此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关键．

11单选题

已知α∈($\frac {π}{2}$，π)，tan(α+$\frac {π}{4}$)=$\frac {1}{7}$，那么sinα+cosα的值为（　　）

-$\frac {1}{5}$

$\frac {7}{5}$

-$\frac {7}{5}$

$\frac {3}{4}$

题目答案

答案解析

分析：

把已知等式的左边利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，得到关于tanα的方程，求出方程的解得到tanα的值，然后根据α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα和cosα的值，进而求出sinα+cosα的值．

解答：

解：∵tan(α+$\frac {π}{4}$)=$\frac {tanα+1}{1-tanα}$=$\frac {1}{7}$，即8tanα=-6，

∴tanα=-$\frac {3}{4}$，

又α∈($\frac {π}{2}$，π)，

∴cosα=-$\sqrt {}$=-$\frac {4}{5}$，

∴sinα=$\sqrt {}$=$\frac {3}{5}$，

则sinα+cosα=$\frac {3}{5}$+(-$\frac {4}{5}$)=-$\frac {1}{5}$．

故选A

点评：

此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．

12单选题

已知锐角α，β满足：sinα-cosα=$\frac {1}{6}$，tanα+tanβ+$\sqrt {3}$tanα•tanβ=$\sqrt {3}$，则α，β的大小关系是（　　）

α＜β

α＞β

$\frac {π}{4}$＜α＜β

$\frac {π}{4}$＜β＜α

题目答案

答案解析

分析：

已知第一个等式变形得到tanα大于1，确定出α范围，利用两角和与差的正切函数公式化简tan(α+β)，将已知第二个等式变形后代入求出tan(α+β)的值，确定出α+β的度数，进而确定出β的范围，即可对于α，β的大小做出比较．

解答：

解：∵sinα-cosα=$\frac {1}{6}$＞0，即sinα＞cosα，tanα＞1，

∴α＞$\frac {π}{4}$，

∵tanα+tanβ+$\sqrt {3}$tanα•tanβ=$\sqrt {3}$，即tanα+tanβ=$\sqrt {3}$(1-tanα•tanβ)，

∴tan(α+β)=$\frac {tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\sqrt {3}$，

∵α，β为锐角，

∴α+β=$\frac {π}{3}$，即$\frac {π}{3}$-β＞$\frac {π}{4}$，β＜$\frac {π}{12}$，

则α＞β．

故选：B．

点评：

此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．

13填空题

已知tan(α+$\frac {π}{4}$)=$\frac {3}{5}$，则tanα=．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {1}{4}$

答案解析

分析：

将已知等式的左边利用两角和与差的正切公式及特殊角的三角函数值化简，得到关于tanα的方程，求出方程的解即可得到tanα的值．

解答：

解：∵tan(α+$\frac {π}{4}$)=$\frac {tanα+tan$\frac {π}{4}$}{1-tanαtan$\frac {π}{4}$}$=$\frac {tanα+1}{1-tanα}$=$\frac {3}{5}$，

∴5tanα+5=3-3tanα，即8tanα=-2，

解得：tanα=-$\frac {1}{4}$．

故答案为：-$\frac {1}{4}$

点评：

此题考查了两角和与差的正切公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．

14单选题

设tanθ和tan($\frac {π}{4}$-θ)是方程x+px+q=0的两个根，则p、q之间的关系是（　　）

p+q+1=0

p-q+1=0

p+q-1=0

p-q-1=0

题目答案

答案解析

分析：

因为tanθ和tan($\frac {π}{4}$-θ)是方程x+px+q=0的两个根，则根据一元二次方程的根的分布与系数关系得到相加等于-p，相乘等于q，再根据两角差的正切公式找出之间的关系即可．

解答：

解：因为tanθ和tan($\frac {π}{4}$-θ)是方程x+px+q=0的两个根，

得tanθ+tan($\frac {π}{4}$-θ)=-p，tanθtan($\frac {π}{4}$-θ)=q

又因为1=tan[θ+($\frac {π}{4}$-θ)]=$\frac {tanθ+tan($\frac {π}{4}$-θ)}{1-tanθtan($\frac {π}{4}$-θ)}$=$\frac {-p}{1-q}$，

得到p-q+1=0

故选B

点评：

考查学生运用两角和与差的正切函数的能力，以及利用一元二次方程的根的分布与系数关系的能力．

15单选题

已知α∈($\frac {π}{2}$，π)，cosα=-$\frac {4}{5}$，则tan(α-$\frac {π}{4}$)等于（　　）

$\frac {1}{7}$

-$\frac {1}{7}$

-7

题目答案

答案解析

分析：

由α的范围和cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，然后利用两角差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将求出的tanα的值代入即可求出值．

解答：

解：由α∈($\frac {π}{2}$，π)，cosα=-$\frac {4}{5}$，得到sinα=$\sqrt {}$=$\frac {3}{5}$，

所以tanα=$\frac {sinα}{cosα}$=-$\frac {3}{4}$，

则tan(α-$\frac {π}{4}$)=$\frac {tanα-tan$\frac {π}{4}$}{1+tanαtan$\frac {π}{4}$}$=$\frac {-$\frac {3}{4}$-1}{1+(-$\frac {3}{4}$) ×1}$=-7．

故选D

点评：

此题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．

16单选题

下列几个式子中：

①tan25°+tan35°+$\sqrt {3}$tan25°tan35°，

②$\frac {1+tan15°}{1-tan15°}$，

③2(sin35°cos25°+sin55°cos65°)，

④$\frac {2tan$\frac {π}{6}$}{1-tan_$\frac {π}{6}$}$，

结果为$\sqrt {3}$的是（　　）

①②

①③

①②③

①②③④

题目答案

答案解析

分析：

利用两角和的正切公式化简①②，求得结果；利用诱导公式、两角和的正弦公式化简③，求得结果利用二倍角公式化简④，求得结果，综合可得答案．

解答：

解：由于①tan25°+tan35°+$\sqrt {3}$tan25°tan35°=tan(25°+35°)(1-tan25°tan35°)+$\sqrt {3}$tan25°tan35°

=$\sqrt {3}$(1-tan25°tan35°)+$\sqrt {3}$tan25°tan35°=$\sqrt {3}$．

②$\frac {1+tan15°}{1-tan15°}$=$\frac {tan45°+tan15°}{1-tan45°tan15°}$=tan(45°+15°)=$\sqrt {3}$．

③2(sin35°cos25°+sin55°cos65°)=2(sin35°cos25°+cos35°sin25°)=2sin(35°+25°)=2sin60°=$\sqrt {3}$．

④$\frac {2tan$\frac {π}{6}$}{1-tan_$\frac {π}{6}$}$=tan(2×$\frac {π}{6}$)=tan$\frac {π}{3}$=$\sqrt {3}$．

故答案为 ①②③④．

点评：

本题主要考查两角和的正弦公式、正切公式，以及二倍角公式的应用，属于中档题．

17填空题

tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由10°+20°=30°，利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简tan(20°+10°)得到一个等式，然后把所求的式子后两项提取tan60°，利用特殊角的三角函数值化简，将得到的等式代入即可求出值．

解答：

解：∵tan30°=tan(10°+20°)=$\frac {tan10°+tan20°}{1-tan10°tan20°}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$，

∴$\sqrt {3}$(tan20°+tan10°)=1-tan10°tan20°，

即tan10°tan20°+$\sqrt {3}$(tan20°+tan10°)=1，

则tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°

=tan10°tan20°+tan60°(tan20°+tan10°)

=tan10°tan20°+$\sqrt {3}$(tan20°+tan10°)

=1．

故答案为：1．

点评：

此题考查了两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．

18单选题

$\frac {2sin40°-cos10°}{sin10°}$的值为（　　）

$\frac {1}{2}$

$\sqrt {3}$

题目答案

答案解析

分析：

先把sin40°转换为sin(10°+30°)，进而利用两角和与差的正弦函数展开，化简整理即可．

解答：

解：$\frac {2sin40°-cos10°}{sin10°}$=$\frac {2sin(10°+30°)-cos10°}{sin10°}$=$\frac {2($\frac {$\sqrt {3}$}{2}$sin10°+$\frac {1}{2}$cos10°)-cos10°}{sin10°}$=$\frac {$\sqrt {3}$sin10°}{sin10°}$=$\sqrt {3}$，

故选B

点评：

本题主要考查了两角和与差的正弦函数．解题的关键是把sin40°转换为sin(10°+30°)．

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