《直线和圆的位置关系》直线和圆的位置关系

1单选题

过点P(-$\sqrt {3}$，-1)的直线l与圆x+y_=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　）

(0，$\frac {π}{6}$]

(0，$\frac {π}{3}$]

[0，$\frac {π}{6}$]

[0，$\frac {π}{3}$]

题目答案

答案解析

分析：

用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得 $\frac {|0-0+$\sqrt {3}$k-1|}{$\sqrt {}$}$≤1，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围．

解答：

解：由题意可得点P(-$\sqrt {3}$，-1)在圆x+y_=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，

则直线方程为 y+1=k(x+$\sqrt {3}$)，即 kx-y+$\sqrt {3}$k-1=0．

根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得 $\frac {|0-0+$\sqrt {3}$k-1|}{$\sqrt {}$}$≤1，

即 3k_-2$\sqrt {3}$k+1≤k_+1，解得0≤k≤$\sqrt {3}$，故直线l的倾斜角的取值范围是[0，$\frac {π}{3}$]，

故选：D．

点评：

本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．

2单选题

在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为（　　）

$\frac {4}{5}$π

$\frac {3}{4}$π

(6-2$\sqrt {5}$)π

$\frac {5}{4}$π

题目答案

答案解析

分析：

根据AB为直径，∠AOB=90°，推断O点必在圆C上，由O向直线做垂线，垂足为D，则当D恰为圆与直线的切点时，此时圆C的半径最小，即面积最小，利用点到直线的距离求得O到直线的距离，则圆的半径可求，进而可求得此时圆C的面积．

解答：

解：∵AB为直径，∠AOB=90°，

∴O点必在圆C上，

由O向直线做垂线，垂足为D，则当D恰为圆与直线的切点时，此时圆C的半径最小，即面积最小

此时圆的直径为O到直线的距离为$\frac {4}{$\sqrt {5}$}$，则圆C的面积为：π×($\frac {2}{$\sqrt {5}$}$)_=$\frac {4π}{5}$．

故选A．

点评：

本题主要考查了直线与圆的位置关系．用数形结合的思想，解决问题较为直观．

3单选题

若圆心在x轴上、半径为$\sqrt {5}$的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是(　　)

(x-$\sqrt {5}$)_+y_=5

(x+$\sqrt {5}$)_+y_=5

(x-5)_+y_=5

(x+5)_+y_=5

题目答案

答案解析

分析：

先看圆心，排除A、C，在B、D中选一个验证直线x+2y=0相切即可．

解答：

解：因为圆O位于y轴左侧，显然A、C不符，(-5，0)到直线x+2y=0的距离为$\sqrt {5}$．

故选D．

点评：

本题采用回代验证方法解答灵活．还可以数形结合估计法，直接推得结果．

4单选题

直线y=x+1与圆x+y_=1的位置关系为（　　）

相切

相交但直线不过圆心

直线过圆心

相离

题目答案

答案解析

分析：

求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案．

解答：

解：由圆的方程得到圆心坐标(0，0)，半径r=1

则圆心(0，0)到直线y=x+1的距离d=$\frac {|1|}{$\sqrt {}$}$=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$＜r=1，

把(0，0)代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．

所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．

故选B

点评：

此题考查学生掌握判断直线与圆位置关系的方法是比较圆心到直线的距离d与半径r的大小，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．

5单选题

若圆x+y-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，则a的值为（　　）

-2或2

$\frac {1}{2}$或$\frac {3}{2}$

2或0

-2或0

题目答案

答案解析

分析：

把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离，根据此距离等于$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：

解：把圆x+y-2x-4y=0化为标准方程为：(x-1)_+(y-2)_=5，所以圆心坐标为(1，2)，

∵圆心(1，2)到直线x-y+a=0的距离为$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，

∴$\frac {|1-2+a|}{$\sqrt {2}$}$=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，即|a-1|=1，可化为a-1=1或a-1=-1，

∴解得a=2或0．

故选C．

点评：

此题考查学生会将圆的一般式方程化为圆的标准方程并会从标准方程中找出圆心坐标，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．

6单选题

直线x+y+2=0和圆C：(x-1)_+(y-1)_=9的位置关系是（　　）

相切

相交

不确定

相离

题目答案

答案解析

分析：

由条件求出圆心(1，1)到直线x+y+2=0的距离小于半径，可得直线和圆相交．

解答：

解：由于圆心(1，1)到直线x+y+2=0的距离为$\frac {|1+1+2|}{$\sqrt {2}$}$=2$\sqrt {2}$，小于半径3，

故直线和圆相交，

故选：B．

点评：

本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．

7单选题

直线x+ay+2=0与圆锥曲线x+2y_=2有两个交点，则实数a的取值范围为（　　）

(-∞，-$\sqrt {2}$)∪($\sqrt {2}$，+∞)

(-$\sqrt {2}$，$\sqrt {2}$)

(-∞，-2)∪(2，+∞)

(-2，2)

题目答案

答案解析

分析：

直线方程与曲线方程联立，利用根的判别式大于0，即可求出实数a的取值范围．

解答：

解：由x+ay+2=0可得x=-ay-2，代入x+2y_=2，可得(a_+2)y+4ay+2=0，

∵直线x+ay+2=0与圆锥曲线x+2y_=2有两个交点，

∴△=16a_-8(a_+2)＞0，

∴a_-2＞0，

∴a＜-$\sqrt {2}$或a＞$\sqrt {2}$．

故选A．

点评：

本题考查直线与曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

8单选题

直线3x+4y-13=0与圆(x-2)_+(y-3)_=1的位置关系是（　　）

相离

相交

相切

无法判定

题目答案

答案解析

分析：

由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，发现d=r，故直线与圆相切．

解答：

解：由圆的方程得到：圆心坐标为(2，3)，半径r=1，

所以圆心到直线3x+4y-13=0的距离d=$\frac {|6+12-13|}{5}$=1=r，

则直线与圆的位置关系为相切．

故选C

点评：

此题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式．其中直线与圆的位置关系的判定方法为：当0≤d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离．

9单选题

已知圆：(x-1)_+y_=2，则过点(2，1)作该圆的切线方程为（　　）

x-y-1=0

2x+y-5=0

x=2

x+y-3=0

题目答案

答案解析

分析：

验证可得点在圆上，先求圆心与切点连线的斜率，由垂直关系可得切线的斜率，进而可得切线的方程．

解答：

解：由题意可得：(2-1)_+1_=2，

故可得点(2，1)在圆(x-1)_+y_=2上，

由斜率公式可得点(2，1)与圆心(1，0)连线的斜率k=$\frac {1-0}{2-1}$=1，

故切线的斜率为-1，可得方程为y-1=-(x-2)，

化为一般式可得：x+y-3=0

故选D

点评：

本题考查圆的切线方程的求解，验证点在圆上是解决问题的关键，属中档题．

10单选题

若直线x+y+a=0与圆(x-a)_+y_=2相切，则a=（　　）

-1

$\sqrt {2}$

1或-1

题目答案

答案解析

分析：

解决直线与圆相切问题，常用圆的几何性质，即圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列方程即可解得a值．

解答：

解：∵直线x+y+a=0与圆(x-a)_+y_=2相切，

∴圆心(a，0)到直线x+y+a=0的距离等于圆的半径$\sqrt {2}$，

∴$\frac {|2a|}{$\sqrt {2}$}$=$\sqrt {2}$，

∴a=1或-1．

故选D．

点评：

本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相切的几何性质，圆的标准方程，点到直线的距离公式等知识的运用．

11单选题

若直线4x-3y-2=0与圆x+y-2ax+4y+a_-12=0有两个不同的公共点，则实数a的取值范围是（　　）

-3＜a＜7

-6＜a＜4

-7＜a＜3

-21＜a＜19

题目答案

答案解析

分析：

先把圆的方程整理成标准方程，求得圆的半径和圆心坐标，进而根据直线与圆总有两个交点，判断出圆心到直线的距离小于半径，根据点到直线的距离建立不等式求得a的范围．

解答：

解：整理圆方程为(x-a)_+(y+2)_=16，

∴圆心坐标(a，-2)，半径r=4

∵直线与圆总有两个交点，

∴圆心到直线的距离小于半径

即 $\frac {|4a+6-2|}{$\sqrt {16+9}$}$＜4，解得-6＜a＜4，

故选B．

点评：

本题主要考查了直线与圆相交的性质．采用数形结合的方法，解题较好．

12填空题

圆x^{2}+y^{2}+2x-6y-15=0与直线(1+3m)x+(3-2m)y+4m-17=0的交点个数是．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

求出直线系经过的定点，判断点与圆的位置关系，即可判断直线与圆交点的个数．

解答：

点评：

本题考查直线系方程与圆的位置关系，直线与圆的交点的个数的求法，考查分析问题解决问题的能力．

13单选题

若曲线C$_1$：x+y-8x=0与曲线C$_2$：y(y-mx-m)=0有四个不同交点，则实数m的取值范围是（　　）

(-$\frac {4}{3}$，$\frac {4}{3}$)

(-$\frac {4}{3}$，0)∪(0，$\frac {4}{3}$)

[-$\frac {4}{3}$，$\frac {4}{3}$]

(-∞，-$\frac {4}{3}$)∪($\frac {4}{3}$，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

曲线C$_1$表示以C$_1$：(4，0)为圆心、半径等于4的圆；①当m≠0时，曲线C$_2$表示x轴及过点(-1，0)且斜率为m的直线，要使两条曲线有四个不同交点，需y=m(x+1)和圆 (x-4)_+y_=16 相交，根据圆心到此直线的距离小于半径，求得m的范围．②当m=0时，检验不满足条件．综合可得m的范围．

解答：

解：曲线C$_1$：x+y-8x=0 即 (x-4)_+y_=16，表示以C$_1$：(4，0)为圆心、半径等于4的圆．

对于曲线C$_2$：y(y-mx-m)=0，①当m≠0时，曲线C$_2$即 y=0，或y=m(x+1)，表示x轴及过点(-1，0)且斜率为m的直线，

要使两条曲线有四个不同交点，需y=m(x+1)和圆 (x-4)_+y_=16 相交，

故有$\frac {|4m-0+m|}{$\sqrt {}$}$＜4，求得-$\frac {4}{3}$＜m＜$\frac {4}{3}$，且m≠0．

②当m=0时，曲线C$_2$：即y_=0，即y=0，表示一条直线，此时曲线C$_2$和曲线C$_1$ 只有一个交点，不满足条件．

综上可得，实数m的取值范围是(-$\frac {4}{3}$，0)∪(0，$\frac {4}{3}$)，

故选：B．

点评：

本题主要考查曲线的方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了转化的数学思想，属于基础题．

14单选题

直线y=k(x+1)与圆x+y_=1的位置关系是（　　）

相离

相切

相交

与k的取值有关

题目答案

答案解析

分析：

由圆的方程找出圆心坐标与半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d与半径r比较大小即可得到直线与圆的位置关系．

解答：

解：由圆的方程得圆心坐标为(0，0)，半径r=1

则圆心到直线y=k(x+1)的距离d=$\frac {|k|}{$\sqrt {}$}$=$\frac {1}{$\sqrt {}$}$＜1=r，

所以直线与圆的位置关系是相交．

故选C

点评：

此题考查学生掌握直线与圆位置关系的判别方法，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道基础题．

15单选题

直线l：ax+by=0和圆C：x+y+ax+by=0在同一坐标系的图形只能是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

确定圆的圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，可得直线与圆相切，即可得出结论．

解答：

解：圆C：x+y+ax+by=0的圆心坐标为(-$\frac {a}{2}$，-$\frac {b}{2}$)，半径为$\frac {$\sqrt {}$}{2}$

圆心到直线的距离为d=$\frac {|$\frac {a}{2}$+$\frac {b}{2}$|}{$\sqrt {}$}$=$\frac {$\sqrt {}$}{2}$

∴直线与圆相切，

故选D．

点评：

本题考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

16单选题

已知圆C经过点A(1，3)，B(5，1)，且圆心C在直线x-y+1=0上．设直线l经过点(0，3)，且l与圆C相切，直线l的方程是( )

x=0，或8x+14y-42=0

x=2，或8x+15y-45=0

x=0，或8x+14y-42=0

x=0，或8x+15y-45=0

题目答案

答案解析

分析：

根据圆心在直线x-y+1=0上，设出圆心坐标，设出圆的半径，得到圆的标准方程，然后把点A，B的坐标代入圆的方程，求解方程组即可得到待求系数，则方程可求；然后再分斜率存在和不存在写出切线方程，当斜率不存在时，验证知符合题意，当斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径可求k的值，所以圆的切线方程可求．

解答：

解：因为圆心C在直线x-y+1=0上，所以设圆C的圆心C(a，a+1)，半径为r(r＞0)，

所以圆的方程为(x-a)_+(y-a-1)_=r_．

因为圆C经过点A(1，3)，B(5，1)，

所以，$\left\{\begin{matrix}(1-a)_+(3-a-1)_=r_ \ (5-a)_+(1-a-1)_=r_ \ \end{matrix}\right.$，即$\left\{\begin{matrix}2a_-6a+5=r_ \ 2a_-10a+25=r_ \ \end{matrix}\right.$，

解得：$\left\{\begin{matrix}a=5 \ r=5 \ \end{matrix}\right.$．

所以，圆C的方程为(x-5)_+(y-6)_=25；

由题意设直线l的方程为y=kx+3，或x=0

当l的方程为x=0时，验证知l与圆C相切．

当l的方程为y=kx+3，即kx-y+3=0时，

圆心C到直线l的距离为d=$\frac {|5k-6+3|}{$\sqrt {}$}$=5，解得：k=-$\frac {8}{15}$．

所以，l的方程为y=-$\frac {8}{15}$x+3，即8x+15y-45=0．

所以，直线l的方程为x=0，或8x+15y-45=0，选D．

点评：

本题考查用待定系数法求圆的方程，一般可通过已知条件，设出所求方程，再寻求方程组进行求解．

考查了过定点的圆的切线方程的求法，注意分类讨论，利用点到直线的距离等于半径比联立方程后让判别式等于0要简洁．此题是中档题．

17单选题

若直线2x-y+a=0与圆(x-1)_+y_=1有公共点，则实数a的取值为（　　）

-2-$\sqrt {5}$＜a＜-2+$\sqrt {5}$

-2-$\sqrt {5}$≤a≤-2+$\sqrt {5}$

-$\sqrt {5}$≤a≤$\sqrt {5}$

-$\sqrt {5}$＜a＜$\sqrt {5}$

题目答案

答案解析

分析：

因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d小于等于半径r，利用点到直线的距离公式根据题意列出关于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范围．

解答：

解：由圆的方程可得圆心坐标(1，0)，半径r=1，

依题意得，圆心(1，0)到直线2x-y+a=0的距离d=$\frac {|2+a|}{$\sqrt {5}$}$≤r=1，化简得|2+a|≤$\sqrt {5}$

解得：-2-$\sqrt {5}$≤a≤-2+$\sqrt {5}$，

故选B

点评：

此题要求学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．

18单选题

已知圆C：x+y+ax-2y-15=0过点A(1，-2)．若直线x+y+m=0与圆C相切，m的值是( )

5±2$\sqrt {2}$

2±5$\sqrt {2}$

0或2

3±2$\sqrt {3}$

题目答案

答案解析

分析：

(1)把点A(1，-2)代入圆的方程即可解得a．

(2)利用直线x+y+m=0与圆C相切⇔圆心到直线的距离d=r．

解答：

解：(1)把点A(1，-2)代入圆的方程得到：1+2_+a-2×(-2)-15=0，解得a=6．

(2)由(1)可得圆C的方程：x+y+6x-2y-15=0，化为(x+3)_+(y-1)_=25．

∴圆心(-3，1)到直线x+y+m=0的距离d=$\frac {|-3+1+m|}{$\sqrt {2}$}$=$\frac {|m-2|}{$\sqrt {2}$}$．

∵直线x+y+m=0与圆C相切，∴d=r．

∴$\frac {|m-2|}{$\sqrt {2}$}$=5．

∴m=2±5$\sqrt {2}$，选B．

点评：

本题考查了圆的标准方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，属于基础题．

19单选题

过定点(1，2)可作两直线与圆x+y+kx+2y+k_-15=0相切，则k的取值范围是（　　）

k＞2

-3＜k＜2

k＜-3或k＞2

以上皆不对

题目答案

答案解析

分析：

把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，可求k的范围，根据过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，让其大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数k的取值范围．

解答：

解：把圆的方程化为标准方程得：(x+$\frac {1}{2}$k)_+(y+1)_=16-$\frac {3}{4}$k_，

所以16-$\frac {3}{4}$k_＞0，解得：-$\frac {8$\sqrt {3}$}{3}$＜k＜$\frac {8$\sqrt {3}$}{3}$，

又点(1，2)应在已知圆的外部，

把点代入圆方程得：1+4+k+4+k_-15＞0，即(k-2)(k+3)＞0，

解得：k＞2或k＜-3，

则实数k的取值范围是(-$\frac {8$\sqrt {3}$}{3}$，-3)∪(2，$\frac {8$\sqrt {3}$}{3}$)．

故选D

点评：

此题考查了点与圆的位置关系，二元二次方程为圆的条件及一元二次不等式的解法．点在圆外是解题的关键．不注意圆的半径大于0，是易错点

20单选题

已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x+y_=1相切，则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形（　　）

是锐角三角形

是直角三角形

是钝角三角形

不存在

题目答案

答案解析

分析：

直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x+y_=1相切，就是圆心到中心的距离等于半径，推出a、b、c的关系，然后判定即可．

解答：

解：由题意得$\frac {|a•0+b•0+c|}{$\sqrt {}$}$=1，即c_=a_+b_，

∴由|a|、|b|、|c|构成的三角形为直角三角形．

故选B．

点评：

本题考查圆的切线方程，中心与圆的位置关系，是基础题．

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《直线和圆的位置关系》直线和圆的位置关系

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