已知双曲线E的中心为原点，P(3，0)是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-12，-15)，则E的方程式为（ ）
分析：
已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x$_1$+x$_2$=-24，根据$\frac {y$_1$-y$_2$}{x$_1$-x$_2$}$=$\frac {4b}{5a}$，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．
解答：
解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k_PN=1，
设双曲线方程为$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1，
A(x$_1$，y$_1$)，B(x$_2$，y$_2$)，
则有$\left\{\begin{matrix}$\frac {x$_1$}{a}$-$\frac {y$_1$}{b}$=1 \ $\frac {x$_2$}{a}$-$\frac {y$_2$}{b}$=1 \ \end{matrix}\right.$，
两式相减并结合x$_1$+x$_2$=-24，y$_1$+y$_2$=-30得
$\frac {y$_1$-y$_2$}{x$_1$-x$_2$}$=$\frac {4b}{5a}$，
从而=$\frac {4b}{5a}$=1
即4b_=5a_，
又a_+b_=9，
解得a_=4，b_=5，
故选B．
点评：
本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
已知抛物线y_=2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）
分析：
先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程．
解答：
解：设A(x$_1$，y$_1$)、B(x$_2$，y$_2$)，则有y$_1$_=2px$_1$，y$_2$_=2px$_2$，两式相减得：(y$_1-y_2)(y_1+y_2)=2p(x_1-x_2$)，又因为直线的斜率为1，所以$\frac {y_1- y_2}{x_1- x_2}$=1，所以有y$_1$+y$_2$=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y$_1$+y$_2$=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=-$\frac {p}{2}$=-1．故选B．
点评：
本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识．
已知F是抛物线C：y_=4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M(2，2)，则△ABF的面积等于．
分析：
利用点斜式设过M的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x$_1$+x$_2$和x$_1$x$_2$的表达式，根据AB的中点坐标求得k，进而求得直线方程，求得AB的长度和焦点到直线的距离，最后利用三角形面积公式求得答案．
解答：
解：设过M的直线方程为y-2=k(x-2)，由$\left\{\begin{matrix}y-2=k(x-2) \ y_=4x \ \end{matrix}\right.$⇒k_x-4kx+4(k-1)_=0
∴x$_1$+x$_2$=$\frac {4}{k}$，x$_1$x$_2$=$\frac {4(k-1)}{k}$，
由题意$\frac {4}{k}$=4⇒k=1，于是直线方程为y=x，x$_1$+x$_2$=4，x$_1$x$_2$=0，
∴|AB|=4$\sqrt {2}$，焦点F(1，0)到直线y=x的距离d=$\frac {1}{$\sqrt {2}$}$
∴△ABF的面积是$\frac {1}{2}$×4$\sqrt {2}$×$\frac {1}{$\sqrt {2}$}$=2
故答案为2
点评：
本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)
椭圆x+4y_=36的弦被(4，2)平分，则此弦所在直线方程为( )
分析：
设弦的端点坐标为(x$_1$，y$_1$)，(x$_2$，y$_2$)，则x$_1$+x$_2$=8，y$_1$+y$_2$=4，代入椭圆方程可得，x$_1$_+4y$_1$_=36，x$_2$_+4y$_2$_=36，两个方程作差可求得直线斜率，利用点斜式可得直线方程，注意检验．
解答：
解：设弦的端点坐标为(x$_1$，y$_1$)，(x$_2$，y$_2$)，则x$_1$+x$_2$=8，y$_1$+y$_2$=4，
代入椭圆方程可得，x$_1$_+4y$_1$_=36，①，
x$_2$_+4y$_2$_=36②
①-②得，(x$_1$+x$_2$)(x$_1$-x$_1$)+4(y$_1$+y$_2$)(y$_1$-y$_2$)=0
∴$\frac {y$_1$-y$_2$}{x$_1$-x$_2$}$=-$\frac {x$_1$+x$_2$}{4(y$_1$+y$_2$)}$=-$\frac {1}{2}$，
由点斜式方程可得直线方程为：y-2=$\frac {1}{2}$(x-4)，即x+2y-8=0，
经检验符合题意，
故答案为：x+2y-8=0，所以选C．
点评：
本题考查直线与椭圆的位置关系，属中档题，涉及弦中点问题常采取“平方差法”解决．
如果椭圆$\frac {x^{2}}{36}$+$\frac {y^{2}}{9}$=1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是( )
分析：
若设弦的端点为A(x$_1$，y$_1$)、B(x$_2$，y$_2$)，代入椭圆方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①-②，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．
解答：
解：设弦的端点为A(x$_1$，y$_1$)、B(x$_2$，y$_2$)，代入椭圆方程，得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①-②，得9(x$_1$+x$_2$)(x$_1$-x$_2$)+36(y$_1$+y$_2$)(y$_1$-y$_2$)=0；由中点坐标$\frac {x_{1}+x_{2}}{2}$=4，$\frac {y_{1}+y_{2}}{2}$=2，代入上式，得36(x$_1$-x$_2$)+72(y$_1$-y$_2$)=0，∴直线斜率为k=$\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$=-$\frac {1}{2}$，所求弦的直线方程为：y-2=-$\frac {1}{2}$(x-4)，即x+2y-8=0．故答案为：x+2y-8=0，所以选C．
点评：
本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于基础题目．
直线y=kx-2与抛物线y_=8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则k的值为．
分析：
直线y=kx-2与抛物线y_=8x交于两点，k≠0．由$\left\{\begin{matrix}y=kx-2 \ y_=8x \ \end{matrix}\right.$，得k_x-4kx-8x+4=0，x$_1$+x$_2$=$\frac {4k+8}{k}$．而A、B中点的横坐标为2，由中点坐标公式能求出k．
解答：
解：∵直线y=kx-2与抛物线y_=8x交于两点，
∴k≠0．
由$\left\{\begin{matrix}y=kx-2 \ y_=8x \ \end{matrix}\right.$，得k_x-4kx-8x+4=0，
∴x$_1$+x$_2$=$\frac {4k+8}{k}$．
而A、B中点的横坐标为2，
∴$\frac {4k+8}{k}$=4，解得k=-1或k=2．
而当k=-1时，方程k_x-4kx-8x+4=0只有一个解，即A、B两点重合，
∴k≠-1．
∴k=2．
故答案为：2．
点评：
本题考直线和抛物线的位置关系的应用，解题时要注意韦达定理和中点坐标公式的合理运用．
已知双曲线方程是x-$\frac {y}{2}$=1，过定点P(2，1)作直线交双曲线于P$_1$、P$_2$两点，并使P(2，1)为P$_1$P$_2$的中点，则此直线方程是( )
分析：
设y=kx-2k+1．代入x-$\frac {y}{2}$=1，消y并化简，利用韦达定理，结合P(2，1)为P$_1$P$_2$的中点，即可求出直线方程．
解答：
解：设y=kx-2k+1．代入x-$\frac {y}{2}$=1，消y并化简，得(2-k_)x+2k(2k-1)x-4k_+4k-3=0．
设直线与双曲线的交点P$_1$(x$_1$，y$_1$)，P$_2$(x$_2$，y$_2$)．
当2-k_≠0即k_≠2时，有x$_1$+x$_2$=$\frac {-2k(2k-1)}{2-k}$
又点P(2，1)是弦P$_1$P$_2$的中点，
∴$\frac {-2k(2k-1)}{2-k}$=4，解得k=4．
当k=4时△=4k_ (2k-1)_-4(2-k_) (-4k_+4k-3)=56×5＞0，
当k_=2即k=±$\sqrt {2}$时，与渐近线的斜率相等，
即k=±$\sqrt {2}$的直线l与双曲线不可能有两个交点，
综上所述，所求直线方程为y=4x-7．
故答案为：A．
点评：
本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
已知斜率为1的直线l与双曲线$\frac {x^2}{a^2}$-$\frac {y^2}{b^2}$=1(a＞0，b＞0)相交于A，B两点，且AB的中点为M(1，3)，则双曲线的渐近线方程为（ ）
分析：
解答：
点评：
椭圆ax+by_=1与直线y=1-x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$，则$\frac {a}{b}$的值为（ ）
分析：
联立椭圆方程与直线方程，得ax+b(1-x)_=1，(a+b)x-2bx+b-1=0，设A(x$_1$，y$_1$)，B(x$_2$，y$_2$)，由韦达定理得AB中点坐标：($\frac {b}{a+b}$，$\frac {a}{a+b}$)，AB中点与原点连线的斜率k=$\frac {$\frac {a}{a+b}$}{$\frac {b}{a+b}$}$=$\frac {a}{b}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$．
解答：
解：联立椭圆方程与直线方程，得ax+b(1-x)_=1，(a+b)x-2bx+b-1=0，
设A(x$_1$，y$_1$)，B(x$_2$，y$_2$)，
x$_1$+x$_2$=$\frac {2b}{a+b}$，y$_1$+y$_2$=1-x$_1$+1-x$_2$=2-$\frac {2b}{a+b}$=$\frac {2a}{a+b}$，
AB中点坐标：($\frac {b}{a+b}$，$\frac {a}{a+b}$)，AB中点与原点连线的斜率k=$\frac {$\frac {a}{a+b}$}{$\frac {b}{a+b}$}$=$\frac {a}{b}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$．
故选A．
点评：
本题考查直线和圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
中心为(0，0)，一个焦点为F(0，5$\sqrt {2}$)的椭圆，截直线y=3x-2所得弦中点的横坐标为$\frac {1}{2}$，则该椭圆方程是（ ）
分析：
根据焦点坐标得出a_-b_=50，将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出其a，b即可求椭圆的方程．
解答：
解：设椭圆的标准方程为$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)，
由F(0，5$\sqrt {2}$)，
∴c=5$\sqrt {2}$，
∴a_-b_=50．
把直线方程y=3x-2代入椭圆方程整理得(a_+9b_)x-12b_x+b_(4-a_)=0．
设弦的两个端点为A(x$_1$，y$_1$)，B(x$_2$，y$_2$)，
则由根与系数的关系得x$_1$+x$_2$=$\frac {12b}{a_+9b}$，
又AB的中点的横坐标为$\frac {1}{2}$，
∴$\frac {6b}{a_+9b}$=$\frac {1}{2}$，
∴a_=3b_，与方程a_-b_=50联立可解出a_=75，b_=25．
故椭圆的方程$\frac {x}{25}$+$\frac {y}{75}$=1．
故选C．
点评：
本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题，考查韦达定理的运用，属于中档题．
直线y=kx-2与抛物线y^{2}=8x交于A、B两点，且线段AB的中点的纵坐标为2，则k的值是（ ）
分析：
解答：
点评：
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，具体涉及到抛物线的性质、韦达定理，属于中档题．
已知点P(1，1)是直线l被椭圆$\frac {x}{2}$+$\frac {y}{4}$=1所截得的弦的中点，则直线l的方程为( )
分析：
设A(x$_1$，y$_1$)，B(x$_2$，y$_2$)，利用点差法能够求出直线l的方程．
解答：
解：设A(x$_1$，y$_1$)，B(x$_2$，y$_2$)，则
2x$_1$_+y$_1$_=4，2x$_2$_+y$_2$_=4，
两式相减可得：2(x$_1$+x$_2$)(x$_1$-x$_2$)+(y$_1$+y$_2$)(y$_1$-y$_2$)=0，
∴4(x$_1$-x$_2$)+2(y$_1$-y$_2$)=0，
∴k_l=-$\frac {1}{2}$，
∴直线l的方程为y-1=-$\frac {1}{2}$(x-1)，即2x+y-3=0．
故答案为：2x+y-3=0，所以选D．
点评：
本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．