《求封闭图形的面积》求封闭图形的面积

1单选题

直线y=4x与曲线y=x_在第一象限内围成的封闭图形的面积为（　　）

2$\sqrt {2}$

4$\sqrt {2}$

题目答案

答案解析

分析：

先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．

解答：

解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，

曲线y=x_与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫_0(4x-x)dx，

而∫_0(4x-x)dx=(2x-$\frac {1}{4}$x)|_0=8-4=4

∴曲边梯形的面积是4，

故选：D．

点评：

考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．

2单选题

如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为(　　)

$\frac {1}{4}$

$\frac {1}{5}$

$\frac {1}{6}$

$\frac {1}{7}$

题目答案

答案解析

分析：

根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=$\sqrt {x}$围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．

解答：

解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，

而阴影部分由函数y=x与y=$\sqrt {x}$围成，其面积为∫_0($\sqrt {x}$-x)dx=($\frac {2}{3}$x-$\frac {x}{2}$)|_0=$\frac {1}{6}$，

则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为$\frac {$\frac {1}{6}$}{1}$=$\frac {1}{6}$；

故选C．

点评：

本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．

3单选题

由曲线y=$\sqrt {x}$，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为（　　）

$\frac {10}{3}$

$\frac {16}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=$\sqrt {x}$，直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．

解答：

解：联立方程$\left\{\begin{matrix}y=$\sqrt {x}$ \ y=x-2 \ \end{matrix}\right.$得到两曲线的交点(4，2)，

因此曲线y=$\sqrt {x}$，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为S=_0($\sqrt {x}$-x+2)dx=($\frac {2}{3}$x-$\frac {1}{2}$x+2x)_0=$\frac {16}{3}$．

故选C．

点评：

本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．

4填空题

从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分部分的概率为．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {1}{3}$

答案解析

分析：

本题利用几何概型概率．先利用定积分求出图中阴影部分部分的面积，再结合概率计算公式求出阴影部分部分面积与长方形区域的面积之比即可．

解答：

解：长方形区域的面积为3，

阴影部分部分的面积为_0 3x_dx=1，

所以点M取自阴影部分部分的概率为$\frac {1}{3}$

故答案为：$\frac {1}{3}$．

点评：

本题考查的定积分的简单应用，解决本题的关键是熟练掌握定积分的几何意义及运算公式．简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

5单选题

如图，在第一象限由直线y=2x，y=$\frac {1}{2}$x和曲线y=$\frac {1}{x}$所围图形的面积是(　　)

ln2

2ln2

1-ln2

1+ln2

题目答案

答案解析

分析：

联立$\left\{\begin{matrix}y=2x \ y=$\frac {1}{x}$ \ \end{matrix}\right.$，x＞0，解得交点坐标；联立$\left\{\begin{matrix}y=$\frac {1}{2}$x \ y=$\frac {1}{x}$ \ \end{matrix}\right.$，x＞0，解得交点坐标．可得在第一象限由直线y=2x，y=$\frac {1}{2}$x和曲线y=$\frac {1}{x}$所围图形的面积S=_0(2x)dx+_$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$$\frac {1}{x}$dx-_0($\frac {1}{2}$x)dx，再利用微积分基本定理即可得出．

解答：

解：联立$\left\{\begin{matrix}y=2x \ y=$\frac {1}{x}$ \ \end{matrix}\right.$，x＞0，解得$\left\{\begin{matrix}x=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$ \ y=$\sqrt {2}$ \ \end{matrix}\right.$，

联立$\left\{\begin{matrix}y=$\frac {1}{2}$x \ y=$\frac {1}{x}$ \ \end{matrix}\right.$，x＞0，解得$\left\{\begin{matrix}x=$\sqrt {2}$ \ y=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$ \ \end{matrix}\right.$．

∴在第一象限由直线y=2x，y=$\frac {1}{2}$x和曲线y=$\frac {1}{x}$所围图形的面积S=_0(2x)dx+_$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$$\frac {1}{x}$dx-_0($\frac {1}{2}$x)dx

=x__0+lnx_$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$-$\frac {1}{4}$x__0=$\frac {1}{2}$+ln$\sqrt {2}$-ln$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$-$\frac {1}{2}$=ln2．

故选A．

点评：

本题考查了导数的运算法则、微积分基本定理的应用，属于基础题．

6单选题

由函数y=2sin3x($\frac {π}{6}$≤x≤$\frac {5π}{6}$)与函数y=2(x∈R)的图象围成一个封闭图形，则这个封闭图形的面积为（　　）

$\frac {4π}{3}$

$\frac {2π}{3}$

$\frac {π}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

通过作图，把函数y=2sin3x($\frac {π}{6}$≤x≤$\frac {5π}{6}$)与函数y=2(x∈R)的图象围成的封闭图形的面积转化为一个定积分求解．

解答：

解：如图：

封闭图形的面积S=_$\frac {π}{6}$(2-2sin3x)dx=(2x+$\frac {2}{3}$cos3x_$\frac {π}{6}$=(2×$\frac {5π}{6}$-2×$\frac {π}{6}$)+($\frac {2}{3}$cos$\frac {5π}{2}$-$\frac {2}{3}$cos$\frac {π}{2}$)=$\frac {4π}{3}$．

或根据对称性，由割补法得到S=4×$\frac {π}{3}$=$\frac {4π}{3}$．

故选A．

点评：

本题考查了定积分，考查了数形结合，解答此题的关键是熟记基本初等函数的求导公式，是基础题．

7单选题

把函数f(x)=sinx(x∈[0，2π])的图象向左平移$\frac {π}{3}$后，得到g(x)的图象，则f(x)与g(x)的图象所围成的图形的面积为（　　）

2$\sqrt {2}$

2$\sqrt {3}$

题目答案

答案解析

分析：

先确定g(x)=sin(x+$\frac {π}{3}$)，联立可得交点为($\frac {π}{3}$，$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$)，($\frac {4π}{3}$，-$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$)，确定积分上下限，再由定积分的几何意义，将图形面积问题转化为上下两函数差的定积分问题，最后利用微积分基本定理求值即可．

解答：

解：把函数f(x)=sinx(x∈[0，2π])的图象向左平移$\frac {π}{3}$后，得到g(x)=sin(x+$\frac {π}{3}$)，

联立可得交点为($\frac {π}{3}$，$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$)，($\frac {4π}{3}$，-$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$)，

∴f(x)与g(x)的图象所围成的图形的面积为_$\frac {π}{3}$[sinx-sin(x+$\frac {π}{3}$)]dx=[-cosx+cos(x+$\frac {π}{3}$)]_$\frac {π}{3}$=2．

故选：D．

点评：

本题主要考查了定积分的求解，解题的关键是定积分基本定理及定积分的几何意义的应用．

8单选题

由曲线y=x-1，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)可表示为（　　）

_0(x-1)dx

|_0(x-1)|dx

|_0(x-1)dx|

_0(x-1)dx+$_1$(x-1)dx

题目答案

答案解析

分析：

将函数y=x-1的图象进行变换，得函数y=|x-1|的图象．根据全等图形的面积相等，可得曲线y=x-1，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭图形的面积，恰好等于函数y=|x-1|在[0，2]上的图象投影到x轴所成的面积，得到本题的答案．

解答：

解：将函数y=x-1的图象位于x轴下方的部分对称到x轴的上方，

而x轴上方的部分不变，得函数y=|x-1|的图象

可得曲线y=x-1，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭图形的面积，

恰好等于函数y=|x-1|在[0，2]上的图象投影到x轴所成的面积，如图中的阴影部分．

∴所求的阴影部分面积S=_0|x-1|dx

故选：B

点评：

本题给出曲线y=x-1与x=0，x=2和x轴围成的图形，要我们找出等于这个面积的积分值，着重考查了基本初等函数图象的变换和定积分的几何意义等知识，属于基础题．

9单选题

曲线y=x-3x和y=x围成的面积为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

先求出曲线y=x-3x与y=x的交点坐标，得到积分的上下限，然后利用定积分求出第一象限所围成的图形的面积，根据图象的对称性可求出第三象限的面积，从而求出所求．

解答：

解：曲线y=x-3x与y=x的交点坐标为(0，0)，(2，2)，(-2，-2)

曲线y=x-3x与直线y=x在y轴右侧所围成的图形的面积是

_0(x-x+3x)dx=_0(4x-x)dx=(2x-$\frac {1}{4}$x)_0=4，

根据y=x-3x与y=x都是奇函数，关于原点对称，y轴左侧的面积与第一象限的面积相等．

∴曲线y=x-3x与y=x所围成的图形的面积为 2×4=8．

故选B．

点评：

本小题考查根据定积分的几何意义，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了函数图象的对称性．

10单选题

如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=$\frac {1}{x}$(x＞0)图象下方的区域(阴影部分)，从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为(　　)

$\frac {ln2}{2}$

$\frac {1-ln2}{2}$

$\frac {1+ln2}{2}$

$\frac {2-ln2}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

先由积分的知识求解阴影部分的面积，然后可求试验的区域所对应的矩形的面积，由几何概率的求解公式代入可求

解答：

解：本题是几何概型问题，

区域E的面积为：S=2×$\frac {1}{2}$+_$\frac {1}{2}$$\frac {1}{x}$dx=1+ln_$\frac {1}{2}$=1-ln$\frac {1}{2}$=1+ln2

∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为 1+ln2，

矩形的面积为2

由几何概率的求解可得P=$\frac {1+ln2}{2}$

故选C

点评：

本题综合考查了反比例函数的图象，几何概型，及定积分在求面积中的应用，考查计算能力与转化思想．属于基础题．

11单选题

过原点的直线l与抛物线y=x-2ax(a＞0)所围成的图形面积为$\frac {9}{2}$a_，直线l的方程是( )

y=ax或y=5ax

y=2ax或y=5ax

y=2ax或y=-5ax

y=ax或y=-5ax

题目答案

答案解析

分析：

设l的方程为：y=kx，将直线与抛物线方程联解，得到两交点的横坐标分别为0与2a+k．由此分2a+k≥0与2a+k＜0两种情况讨论，根据定积分计算公式与微积分的几何意义建立关于a、k的方程，解出k值即可得到所求直线l的方程．

解答：

解：设l的方程为：y=kx，由$\left\{\begin{matrix}y=kx \ y=x-2ax \ \end{matrix}\right.$，解得x=0或x=2a+k

(1)若2a+k≥0，则可得

S=_0(kx-x+2ax)dx=$\frac {(k+2a)}{6}$=$\frac {9}{2}$a_，解之得k=a．

∴所求直线l方程为：y=ax．

(2)若2a+k＜0，则可得

S=$_2$a+k(kx-x+2ax)dx=-$\frac {(k+2a)}{6}$=$\frac {9}{2}$a_，解之得k=-5a

∴所求直线l方程为：y=-5ax．

综上所述，直线l的方程为y=ax或y=-5ax，所以选D．

点评：

本题给出直线与抛物线围成的封闭图形的面积，求直线的方程．着重考查了直线与圆锥曲线的关系、微积分计算公式和微积分的几何意义等知识，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．

12填空题

在平面直角坐标系xOy中，直线x=a(a＞0)与曲线y=$\sqrt {x}$及x轴所围成的封闭图形的面积为$\frac {2}{3}$，则a=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由题意，S=_0$\sqrt {x}$dx=$\frac {2}{3}$，根据定积分公式解之即可．

解答：

解：由题意，S=$\int_{0}^{a}$$\sqrt {x}$dx=$\frac {2}{3}$，∴$\frac {2}{3}ax^{\frac{1}{2}}$$|_{0}^{a}$=$\frac {2}{3}$，∴$\frac {2}{3}a^{\frac{3}{2}}$=$\frac {2}{3}$，∴a=1．故答案为：1．

点评：

本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．

13单选题

曲线y=e_与直线x+y=1、x-1=0围成的平面图形的面积等于（　　）

$\frac {1}{2}$e_-1

$\frac {1}{2}$e_-$\frac {3}{2}$

$\frac {1}{2}$e_-$\frac {1}{2}$

e_-$\frac {1}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

先求出曲线与直线的交点，设围成的平面图形面积为S，利用定积分求出S即可．

解答：

解：由题意，曲线y=e_与直线x+y=1、x-1=0围成的平面图形如图所示

∴S=_0(e_-1+x)dx=($\frac {1}{2}$e_-x+$\frac {1}{2}$x)_0

=($\frac {1}{2}$e_-1+$\frac {1}{2}$)-$\frac {1}{2}$=$\frac {1}{2}$e_-1

故选A．

点评：

本题主要考查定积分求面积．用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基本运算．

14单选题

用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是（　　）

∫_af(x)dx

|∫_af(x)dx|

∫_af(x)dx+∫_bf(x)dx

∫_bf(x)dx-∫_af(x)dx

题目答案

答案解析

分析：

先将阴影部分的面积用定积分表示∫_bf(x)dx-∫_af(x)dx，然后根据定积分的意义进行选择即可．

解答：

解析：由定积分的几何意义知

区域内的曲线与x轴的面积代数和．

即∫_bf(x)dx-∫_af(x)dx

选项D正确．

故选D．

点评：

本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负(积分的几何意义强调代数和)，属于基础题．

15单选题

曲线y=sinx(0≤x≤π)与直线y=$\frac {1}{2}$围成的封闭图形的面积是（　　）

$\sqrt {3}$

2-$\sqrt {3}$

2-$\frac {π}{3}$

$\sqrt {3}$-$\frac {π}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

先确定积分区间，再确定被积函数，进而求定积分，即可求得曲线y=sinx(0≤x≤π)与直线y=$\frac {1}{2}$围成的封闭图形的面积．

解答：

解：令sinx=$\frac {1}{2}$(0≤x≤π)，则x∈[$\frac {π}{6}$，$\frac {5π}{6}$]

∴曲线y=sinx(0≤x≤π)与直线y=$\frac {1}{2}$围成的封闭图形的面积是_$\frac {π}{6}$(sinx-$\frac {1}{2}$)dx=(-cosx-$\frac {x}{2}$)_$\frac {π}{6}$=-cos$\frac {5π}{6}$-$\frac {5π}{12}$+cos$\frac {π}{6}$+$\frac {π}{12}$=$\sqrt {3}$-$\frac {π}{3}$

故选D．

点评：

本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定积分区间与被积函数．

16填空题

已知函数y=x_与y=kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为$\frac {4}{3}$，则k=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

先联立两个解析式得到积分区间，然后利用积分的方法表示出阴影部分面积让其等于$\frac {4}{3}$列出关于k的方程，求出解即可得到k的值．

解答：

解：直线方程与抛物线方程联立$\left\{\begin{matrix}y=x_ \ y=kx \ \end{matrix}\right.$解得x=0，x=k，得到积分区间为[0，k]，由题意得：

∫_0_(kx-x)dx=($\frac {k}{2}$x-$\frac {1}{3}$x)|_0_=$\frac {k}{2}$-$\frac {k}{3}$=$\frac {k}{6}$=$\frac {4}{3}$即k_=8，解得k=2

故答案为：2

点评：

此题是一道基础题，要求学生会利用积分求平面图形的面积．

17单选题

曲线y=sinx(0≤x≤2π)与坐标轴围成的面积是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

先将围成的平面图形的面积用定积分表示出来，然后运用微积分基本定理计算定积分即可．

解答：

解：根据y=sinx的图象，可以看出

S=2∫_0_sinxdx

=-2cosx|_0_

=2(-cosπ+cos0)

=4．

故选D．

点评：

本题主要考查余弦函数的图象和用定积分求面积的问题，属基础题．

18填空题

已知函数f(x)=sinωx的部分图象如图所示，若图中阴影部分的面积为$\frac {1}{3}$，则ω的值是．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

确定点函数的周期，确定被积函数与积分区间，从而可以确定阴影部分的面积．

解答：

解：由题意，函数的周期为T=$\frac {2π}{ω}$，ω为正数

∴图中阴影部分的面积为_0sinωxdx=2×(-$\frac {cosωx}{ω}$_$\frac {π}{2ω}$)=-2×($\frac {cosπ}{ω}$-$\frac {cos$\frac {π}{2}$}{ω}$)=$\frac {2}{ω}$=$\frac {1}{3}$

∴ω=6

故答案为：6

点评：

本题考查定积分，考查导函数与原函数，解题的关键是确定被积函数与积分区间．

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《求封闭图形的面积》求封闭图形的面积

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