《正余弦定理在几何图形中的应用》正余弦定理在几何图形中的应用

1填空题

如图，在△ABC中，∠B=$\frac {π}{3}$，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=$\frac {1}{7}$．则BD的长为，AC的长为．

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题目答案

答案解析

分析：

根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．

解答：

解：在△ABD中，由正弦定理得BD=$\frac {AB•sin∠BAD}{sin∠ADB}$=$\frac {8×$\frac {3$\sqrt {3}$}{14}$}{$\frac {4$\sqrt {3}$}{7}$}$=3，

在△ABC中，由余弦定理得AC_=AB_+CB_-2AB•BCcosB=8_+5_-2×8×5×$\frac {1}{2}$=49，

即AC=7．

点评：

本题主要考查解三角形的应用，正弦定理和余弦定理是解决本题的关键，难度不大．

2填空题

如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=$\sqrt {7}$．若cos∠BAD=-$\frac {$\sqrt {7}$}{14}$，sin∠CBA=$\frac {$\sqrt {21}$}{6}$，则BC的长为．

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题目答案

答案解析

分析：

根据cos∠CAD，cos∠BAD的值，分别求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．

解答：

解：∵cos∠BAD=-$\frac {$\sqrt {7}$}{14}$，

∴sin∠BAD=$\sqrt {}$=$\frac {3$\sqrt {21}$}{14}$，

∵cos∠CAD=$\frac {2$\sqrt {7}$}{7}$，

∴sin∠CAD=$\sqrt {}$=$\frac {$\sqrt {21}$}{7}$

∴sin∠BAC=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=$\frac {3$\sqrt {21}$}{14}$×$\frac {2$\sqrt {7}$}{7}$+$\frac {$\sqrt {7}$}{14}$×$\frac {$\sqrt {21}$}{7}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$，

∴由正弦定理知$\frac {BC}{sin∠BAC}$=$\frac {AC}{sin∠ABC}$，

∴BC=$\frac {AC}{sin∠ABC}$•sin∠BAC=$\frac {$\sqrt {7}$}{$\frac {$\sqrt {21}$}{6}$}$×$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$=3

点评：

本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．

3填空题

如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=$\frac {2$\sqrt {2}$}{3}$，AB=3$\sqrt {2}$，AD=3，则BD长的平方为．

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题目答案

答案解析

分析：

由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长．

解答：

解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，

∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，

∴sin∠BAC=sin(∠BAD+90°)=cos∠BAD=$\frac {2$\sqrt {2}$}{3}$，

在△ABD中，AB=3$\sqrt {2}$，AD=3，

根据余弦定理得：BD_=AB_+AD_-2AB•AD•cos∠BAD=18+9-24=3，

则BD=$\sqrt {3}$．

故答案为：3

点评：

此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

4单选题

如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=(　　)

$\frac {3$\sqrt {10}$}{10}$

$\frac {$\sqrt {10}$}{10}$

$\frac {$\sqrt {5}$}{10}$

$\frac {$\sqrt {5}$}{15}$

题目答案

答案解析

分析：

法一：由题意，可得∠CED=∠AED-∠AEC，根据图象可得tan∠AED=1，tan∠AEC=$\frac {1}{2}$，从而有tan∠CED=tan(∠AED-∠AEC)=$\frac {tan∠AED-tan∠AEC}{1+tan∠AEDtan∠AEC}$=$\frac {1-$\frac {1}{2}$}{1+$\frac {1}{2}$}$=$\frac {1}{3}$，再由三角函数的定义即可求出sin∠CED选出正确选项

法二：用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦；

法三：在三角形CED中用正弦定理直接求正弦

解答：

解：由题设及图知∠CED=∠AED-∠AEC，

又正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1

∴tan∠AED=1，tan∠AEC=$\frac {1}{2}$

∴tan∠CED=tan(∠AED-∠AEC)=$\frac {tan∠AED-tan∠AEC}{1+tan∠AEDtan∠AEC}$=$\frac {1-$\frac {1}{2}$}{1+$\frac {1}{2}$}$=$\frac {1}{3}$

由图知，可依EC所在直线为X轴，以垂直于EC的线向上的方向为Y轴建立坐标系，又∠CED锐角，由三角函数的定义知，∠CED终边一点的坐标为(3，1)，此点到原点的距离是$\sqrt {10}$

故sin∠CED=$\frac {1}{$\sqrt {10}$}$=$\frac {$\sqrt {10}$}{10}$

故选B

法二：利用余弦定理

在△CED中，根据图形可求得ED=$\sqrt {2}$，CE=$\sqrt {5}$，

由余弦定理得cos∠CED=$\frac {5+2-1}{2×$\sqrt {2}$×$\sqrt {5}$}$=$\frac {3$\sqrt {10}$}{10}$，

∴sin∠CED=$\sqrt {}$=$\frac {$\sqrt {10}$}{10}$

故选B

法三：在△CED中，根据图形可求得ED=$\sqrt {2}$，CE=$\sqrt {5}$，∠CDE=135°

由正弦定理得$\frac {CE}{sin∠CDE}$=$\frac {CD}{sin∠CED}$，即sin∠CED=$\frac {CDsin∠CDE}{CE}$=$\frac {sin135°}{$\sqrt {5}$}$=$\frac {$\sqrt {10}$}{10}$

故选B

点评：

本题考查任意角三角函数的定义及两角和与差的正切函数，解题的关键是根据图象求出tan∠CED，本题综合考查了正切的差角公式及三角函数的定义，综合性强，知识性强，题后要注意总结做题的规律

5单选题

如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=$\sqrt {3}$BD，BC=2BD，则sinC的值为(　　)

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{6}$

$\frac {$\sqrt {6}$}{3}$

$\frac {$\sqrt {6}$}{6}$

题目答案

答案解析

分析：

根据题中条件，在△ABD中先由余弦定理求出cosA，利用同角关系可求sinA，利用正弦定理可求sin∠BDC，然后在△BDC中利用正弦定理求解sinC即可

解答：

解：设AB=x，由题意可得AD=x，BD=$\frac {2}{$\sqrt {3}$}$x ，BC=$\frac {4}{$\sqrt {3}$}$x

△ABD中，由余弦定理可得cosA=$\frac {AB_+AD_-BD}{2AB•AD}$=$\frac {2x-$\frac {4x}{3}$}{2x}$=$\frac {1}{3}$

∴sinA=$\frac {2$\sqrt {2}$}{3}$

△ABD中，由正弦定理可得$\frac {AB}{sin∠ADB}$=$\frac {BD}{sinA}$⇒sin∠ADB=$\frac {AB}{BD}$sinA=$\frac {x}{$\frac {2x}{$\sqrt {3}$}$}$×$\frac {2$\sqrt {2}$}{3}$=$\frac {$\sqrt {6}$}{3}$

∴sin∠BDC=$\frac {$\sqrt {6}$}{3}$

△BDC中，由正弦定理可得$\frac {BD}{sinC}$=$\frac {BC}{sin∠BDC}$

∴sinC=$\frac {$\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$x•$\frac {$\sqrt {6}$}{3}$}{$\frac {4$\sqrt {3}$x}{3}$}$=$\frac {$\sqrt {6}$}{6}$

故选：D．

点评：

本题主要考查了在三角形中，综合运用正弦定理、余弦定理、同角基本关系式等知识解三角形的问题，反复运用正弦定理、余弦定理，要求考生熟练掌握基本知识，并能灵活选择基本工具解决问题．

6填空题

△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=$\frac {5}{13}$，cos∠ADC=$\frac {3}{5}$，则AD的值为

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

先由cos∠ADC=$\frac {3}{5}$确定∠ADC的范围，因为∠BAD=∠ADC-∠B所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案．

解答：

解：由cos∠ADC=$\frac {3}{5}$＞0，则∠ADC＜$\frac {π}{2}$，

又已知∠B＜∠ADC可得∠B＜$\frac {π}{2}$，

由sinB=$\frac {5}{13}$，可得cosB=$\frac {12}{13}$，

又由cos∠ADC=$\frac {3}{5}$，可得sin∠ADC=$\frac {4}{5}$．

从而sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=$\frac {4}{5}$×$\frac {12}{13}$-$\frac {3}{5}$×$\frac {5}{13}$=$\frac {33}{65}$．

由正弦定理得$\frac {AD}{sinB}$=$\frac {BD}{sin∠BAD}$，

所以AD=$\frac {BD•sinB}{sin∠BAD}$=$\frac {33×$\frac {5}{13}$}{$\frac {33}{65}$}$=25．

点评：

三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．

7单选题

在△ABC中，∠B=45°，AC=$\sqrt {10}$，cosC=$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$，若点D是AB的中点，则中线CD的长度为( )

$\frac {3$\sqrt {2}$}{8}$

$\frac {$\sqrt {13}$}{2}$

$\sqrt {13}$

题目答案

答案解析

分析：

先由cosC求得sinC，进而根据sinA=sin(180°-45°-C)求得sinA，再由正弦定理知求得BC．再由正弦定理知求得AB，进而可得BD，再在△ACD中由余弦定理求得CD．

解答：

解：由cosC=$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$得sinC=$\frac {$\sqrt {5}$}{5}$

sinA=sin(180°-45°-C)=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$(cosC+sinC)=$\frac {3$\sqrt {10}$}{10}$

由正弦定理知BC=$\frac {AC}{sinB}$•sinA=$\frac {$\sqrt {10}$}{$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$}$•$\frac {3$\sqrt {10}$}{10}$=3$\sqrt {2}$

AB=$\frac {AC}{sinB}$•sinC=$\frac {$\sqrt {10}$}{$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$}$•$\frac {$\sqrt {5}$}{5}$=2

BD=$\frac {1}{2}$AB=1

由余弦定理知

CD=$\sqrt {}$

=$\sqrt {}$=$\sqrt {13}$，所以选C．

点评：

本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．属基础题．

8单选题

如图，在△EFN中，M是边EN上的点，且EF=EM，2EF=$\sqrt {5}$FM，FN=2FM，则sin∠FNE的值为(　　)

$\frac {$\sqrt {5}$}{10}$

$\frac {$\sqrt {5}$}{5}$

$\frac {$\sqrt {10}$}{10}$

$\frac {$\sqrt {10}$}{5}$

题目答案

答案解析

分析：

通过三角形求出∠FMN的正弦函数值，利用正弦定理求出sin∠FNE的值．

解答：

解：设EF=a，在三角形EFM中，sin∠FME=$\frac {$\sqrt {}$}{a}$=$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$，

由∠FME+∠FMN=π，可知sin∠FMN=$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$，

在△FMN中，$\frac {FN}{sin∠FMN}$=$\frac {FM}{sin∠FNE}$，

所以sin∠FNE=$\frac {FM•sin∠FMN}{FN}$=$\frac {$\sqrt {5}$}{5}$．

故选B．

点评：

本题考查三角形中的几何计算，正弦定理的应用，考查计算能力．

9填空题

如图，在△ABC中，B=$\frac {π}{4}$，AC=2$\sqrt {5}$，cosC=$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$．则BC的长为．

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题目答案

答案解析

分析：

根据正弦定理求得BC．

解答：

解：由cosC=$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$，C是三解形内角，

得sinC=$\sqrt {}$=$\sqrt {}$=$\frac {$\sqrt {5}$}{5}$

sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin$\frac {π}{4}$cosC+cos$\frac {π}{4}$sinC

=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$•$\frac {2}{5}$$\sqrt {5}$+$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$•$\frac {$\sqrt {5}$}{5}$=$\frac {3$\sqrt {10}$}{10}$

在△ABC中，由正弦定理$\frac {BC}{sinA}$=$\frac {AC}{sinB}$，BC=$\frac {AC}{sinB}$sinA=$\frac {2$\sqrt {5}$}{$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$}$•$\frac {3$\sqrt {10}$}{10}$=6

点评：

本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，涉及了同角三角函数基本关系，两角和公式，综合性很强．

10填空题

在△ABC中，AC=4，BC=5，cos(A-B)=$\frac {7}{8}$，则cosC=．

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题目答案

$\frac {11}{16}$

答案解析

分析：

由题意可知a＞b，在BC上取D，使得BD=AD，连接AD，找出A-B，设BD=x，利用cos(A-B)=$\frac {7}{8}$，余弦定理，求出x，然后解三角形求出答案．

解答：

解：∵a＞b，∴A＞B．在BC上取D，使得BD=AD，连接AD，

设BD=x，则AD=x，DC=5-x．

在△ADC中，注意cos∠DAC=cos(A-B)=$\frac {7}{8}$，

由余弦定理得：(5-x)_=x+4_-2x•4•$\frac {7}{8}$，

即：25-10x=16-7x，

解得：x=3．

∴在△ADC中，AD=3，AC=4，CD=2，

∴cosC=$\frac {AC_+DC_-AD}{2AC•DC}$=$\frac {11}{16}$

故答案为：$\frac {11}{16}$．

点评：

本题考查余弦定理，两角和与差的余弦，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．

11单选题

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=$\sqrt {3}$，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°；若PB=$\frac {1}{2}$，则PA的长度为( )

$\frac {$\sqrt {7}$}{2}$

$\frac {$\sqrt {5}$}{3}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

由题意利用直角三角形中的边角关系求得∠PBC=60°，∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°．在△PBA中，由余弦定理求得PA的值．

解答：

解：在△ABC中，由于AB=$\sqrt {3}$，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°，

直角三角形PBC中，若PB=$\frac {1}{2}$，∵cos∠PBC=$\frac {PB}{BC}$=$\frac {$\frac {1}{2}$}{1}$=$\frac {1}{2}$，∴∠PBC=60°．

∴∠PBA=∠ABC-∠PBC=90°-60°=30°．

在△PBA中，由余弦定理得PA_=3+$\frac {1}{4}$-2×$\sqrt {3}$×$\frac {1}{2}$cos30_=$\frac {7}{4}$，∴PA=$\frac {$\sqrt {7}$}{2}$，

故选A．

点评：

本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，三角形的内角和公式，属于基础题．

12填空题

若E、F是等腰直角△ABC斜边上的三等分点，则tan∠ECF=．

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题目答案

$\frac {3}{4}$

答案解析

分析：

由题意及图形，并有等腰直角可以设直角边长为3，则写斜边长为3$\sqrt {2}$，利用E、F是等腰直角△ABC斜边上的三等分点及余弦定理就、可以求出CE，CF的长度，在△CEF中利用余弦定理求出即可．

解答：

解：由题意及图形：设三角形的直角边为3，则斜边为3$\sqrt {2}$，又由于E，F为三等分点，所以AE=EF=BF=$\sqrt {2}$，又△ACE≌△BCF，在△ACE中有余弦定理得：CE_=AC_+AE_-2AC•AEcos45°⇒CE=$\sqrt {5}$=CF，在△CEF中，利用余弦定理得：cos∠ECF=$\frac {CF_+CE_-EF}{2 CF•CE}$=$\frac {5+5-2}{2$\sqrt {5}$•$\sqrt {5}$}$=$\frac {4}{5}$，在△ECF中利用同角间的三角函数关系可知：tan∠ECF=$\frac {3}{4}$．

故答案为：$\frac {3}{4}$

点评：

此题考查了同角三角函数的关系，还考查了余弦定理及学生的计算能力．

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