《椭圆和双曲线中斜率乘积的定值》椭圆和双曲线中斜率乘积的定值

1单选题

椭圆C：$\frac {x}{4}$+$\frac {y}{3}$=1的左、右顶点分别为A$_1$、A$_2$，点P在C上且直线PA$_2$斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA$_1$斜率的取值范围是（　　）

[$\frac {1}{2}$，$\frac {3}{4}$]

[$\frac {3}{8}$，$\frac {3}{4}$]

[$\frac {1}{2}$，1]

[$\frac {3}{4}$，1]

题目答案

答案解析

分析：

由椭圆C：$\frac {x}{4}$+$\frac {y}{3}$=1可知其左顶点A$_1$(-2，0)，右顶点A$_2$(2，0)．设P(x_0，y_0)(x_0≠±2)，代入椭圆方程可得$\frac {}{_0-4}$=-$\frac {3}{4}$．利用斜率计算公式可得k_PA$_1$•k_PA$_2$，再利用已知给出的k_PA$_1$的范围即可解出．

解答：

解：由椭圆C：$\frac {x}{4}$+$\frac {y}{3}$=1可知其左顶点A$_1$(-2，0)，右顶点A$_2$(2，0)．

设P(x_0，y_0)(x_0≠±2)，则$\frac {}{4}$+$\frac {}{3}$=1，得$\frac {}{_0-4}$=-$\frac {3}{4}$．

∵k_PA$_2$=$\frac {y}{x_0-2}$，k_PA$_1$=$\frac {y}{x_0+2}$，

∴k_PA$_1$•k_PA$_2$=$\frac {}{_0-4}$=-$\frac {3}{4}$，

∵-2≤k_PA$_2$≤-1，

∴-2≤-$\frac {3}{4k_PA$_1$}$≤-1，解得$\frac {3}{8}$≤k_PA$_1$≤$\frac {3}{4}$．

故选B．

点评：

熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．

2单选题

已知椭圆$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞0，b＞0)，M，N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k$_1$，k$_2$，k$_1$k$_2$≠0，若|k$_1$|+|k$_2$|的最小值为$\sqrt {2}$，则椭圆的离心率为（　　）

$\frac {1}{3}$

$\frac {1}{2}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

设M(x_0，y_0)，N(-x_0，-y_0)，P(x，y)，可得k$_1$=$\frac {y-y}{x-x}$，k$_2$=$\frac {y+y}{x+x}$．由于M、N、P都在椭圆$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1上，可得$\frac {}{a}$+$\frac {}{b}$=1，$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1，相减可得|k$_1$|•|k$_2$|=$\frac {b}{a}$．再利用基本不等式的性质可得|k$_1$|+|k$_2$|≥2$\sqrt {}$=$\frac {2b}{a}$．可得$\frac {2b}{a}$=$\sqrt {2}$，即可得出．

解答：

解：设M(x_0，y_0)，N(-x_0，-y_0)，P(x，y)，

则k$_1$=$\frac {y-y}{x-x}$，k$_2$=$\frac {y+y}{x+x}$．

又∵M、N、P都在椭圆$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1上，

∴$\frac {}{a}$+$\frac {}{b}$=1，$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1，

∴$\frac {(x_0+x)(x_0-x)}{a}$+$\frac {(y_0+y)(y_0-y)}{b}$=0，

∴$\frac {x-x}{y-y}$=-$\frac {a}{b}$•$\frac {y+y}{x+x}$．

∴$\frac {1}{k1}$=-$\frac {a}{b}$k$_2$，即|k$_1$|•|k$_2$|=$\frac {b}{a}$．

又∵|k$_1$|+|k$_2$|≥2$\sqrt {}$=$\frac {2b}{a}$．

∴$\frac {2b}{a}$=$\sqrt {2}$，即2b_=a_，

∴2(a_-c_)=a_，即2c_=a_，

∴$\frac {c}{a}$=$\frac {1}{2}$，即e_=$\frac {1}{2}$，

∴e=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$．

答案 D．

点评：

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3填空题

已知椭圆$\frac {x$_1$}{a$_1$}$+$\frac {y$_1$}{b$_1$}$=1的离心率是$\frac {\sqrt {2}}{2}$，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为$k$_1$$，$k$_2$$，若点A，B关于原点对称，则$k$_1$$．$k$_2$$的值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {1}{2}$

答案解析

分析：

椭圆$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1的离心率是$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，则椭圆的方程可化为：x+2y_=2b_．设M(m，n)，直线AB的方程为：y=kx，可设：A(x_0，kx_0)，B(-x_0，-kx_0)．代入椭圆方程和利用斜率计算公式即可得出．

解答：

解：∵椭圆$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1的离心率是$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，∴$\frac {c}{a}$=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，∴a=$\sqrt {}$=$\sqrt {2}$b，

于是椭圆的方程可化为：x+2y_=2b_．

设M(m，n)，直线AB的方程为：y=kx，可设：A(x_0，kx_0)，B(-x_0，-kx_0)．

则m_+2n_=2b_，_0+2k__0=2b_，

∴m_-_0=2k_0-2n_．

∴k$_1$•k$_2$=$\frac {kx_0-n}{x_0-m}$•$\frac {-kx_0-n}{-x_0-m}$=$\frac {n_-k_}{m_-}$=$\frac {n_-k_}{2k__0-2n}$=-$\frac {1}{2}$．

故答案为：-$\frac {1}{2}$．

点评：

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．

4填空题

椭圆C：$\frac {x}{4}$+$\frac {y}{3}$=1的左、右顶点分别为A$_1$、A$_2$，点P在椭圆C上，记直线PA$_2$的斜率为k$_2$，直线PA$_1$的斜率为k$_1$，则 k$_1$•k$_2$=．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {3}{4}$

答案解析

分析：

先求出椭圆C：$\frac {x}{4}$+$\frac {y}{3}$=1的左、右顶点分别为A$_1$，A$_2$，设P(x_0，y_0)，再求出直线PA$_2$的斜率k$_2$，直线PA$_1$的斜率k$_1$，由此求出k$_1$k$_2$的式子，由此利用等价转化思想能求出k$_1$•k$_2$的值．

解答：

解：椭圆C：$\frac {x}{4}$+$\frac {y}{3}$=1的左、右顶点分别为A$_1$(-2，0)，A$_2$(2，0)，

设P(x_0，y_0)，

则k$_1$k$_2$=$\frac {y}{x_0+2}$•$\frac {y}{x_0-2}$=$\frac {y_0}{x_0_-4}$，

∵P(x_0，y_0)在椭圆上，

∴$\frac {x_0}{4}$+$\frac {y_0}{3}$=1，

∴y_0_=$\frac {3}{4}$(4-x_0_)，

∴k$_1$k$_2$=$\frac {y_0}{x_0_-4}$=$\frac {$\frac {3}{4}$(4-x_0_)}{x_0_-4}$=-$\frac {3}{4}$

故答案为：-$\frac {3}{4}$．

点评：

本题考查两条直线的斜率乘积的求法，是中档题，解题时要注意椭圆性质的灵活运用．

5单选题

已知双曲线$\frac {x^{2}}{a^{2}}$-$\frac {y^{2}}{b^{2}}$=1(a＞b＞0)，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k$_1$，k$_2$，k$_1$k$_2$≠0，若|k$_1$|+|k$_2$|的最小值为1，则双曲线的离心率为（　　）

$\sqrt {2}$

$\frac {\sqrt {5}}{2}$

$\frac {2\sqrt {3}}{3}$

$\frac {3}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

先设点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法，可得斜率之积为定值，再利用|k$_1$|+|k$_2$|的最小值为1，即可求得双曲线的离心率．

解答：

解：由题意，可设点M(p，q)，N(-p，-q)，P(s，t)．∴$\frac {p}{a}$-$\frac {q}{b}$=1，且$\frac {s}{a}$-$\frac {t}{b}$=1．两式相减得$\frac {t_-q}{s_-p}$=$\frac {b}{a}$．再由斜率公式得：k$_1$k$_2$=$\frac {t_-q}{s_-p}$=$\frac {b}{a}$．∵|k$_1$|+|k$_2$|≥$\frac {2b}{a}$ 根据|k$_1$|+|k$_2$|的最小值为1，可知$\frac {2b}{a}$=1∴e=$\frac {c}{a}$=$\frac {\sqrt {5}}{2}$故选B．

点评：

本题以双曲线为载体，考查双曲线的性质，关键是利用点差法，求得斜率之积为定值．

6单选题

已知点P是双曲线C：$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1(a＞0，b＞0)上的一动点，且点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为2，则双曲线的离心率为（　　）

$\sqrt {2}$

$\sqrt {3}$

题目答案

答案解析

分析：

利用点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为2，建立等式，考查双曲线的方程，即可确定a，b的关系，从而可求双曲线的离心率．

解答：

解：设P(x，y)，实轴两顶点坐标为(±a，0)，则

∵点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为2

∴$\frac {y}{x+a}$•$\frac {y}{x-a}$=2

∴$\frac {x}{a}$=$\frac {y}{2a}$+1

∵$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1

∴$\frac {y}{2a}$+1-$\frac {y}{b}$=1

∴b_=2a_

∴c_=a_+b_=3a_

∴c=$\sqrt {3}$a

∴e=$\frac {c}{a}$=$\sqrt {3}$

故选B．

点评：

本题考查斜率的计算，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．

7单选题

若M，N是椭圆C：$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)上关于原点对称的两个点，P是椭圆C上任意一点．若直线PM、PN斜率存在，则它们斜率之积为（　　）

$\frac {a}{b}$

-$\frac {a}{b}$

$\frac {b}{a}$

-$\frac {b}{a}$

题目答案

答案解析

分析：

设P(x_0，y_0)，M(x$_1$，y$_1$)，N(-x$_1$，-y$_1$)．代入椭圆方程得到_0=b_(1-$\frac {}{a}$)，$_1$=b_(1-$\frac {$_1$}{a}$)．再利用斜率计算公式可得k_PM•k_PN=$\frac {y$_1$-y}{x$_1$-x}$•$\frac {-y$_1$-y}{-x$_1$-x}$=$\frac {$_1$-}{$_1$-}$即可得出．

解答：

解：设P(x_0，y_0)，M(x$_1$，y$_1$)，N(-x$_1$，-y$_1$)．

则$\frac {}{a}$+$\frac {}{b}$=1，$\frac {$_1$}{a}$+$\frac {$_1$}{b}$=1，

得到_0=b_(1-$\frac {}{a}$)，$_1$=b_(1-$\frac {$_1$}{a}$)．

∴$_1$-_0=b_($\frac {}{a}$-$\frac {$_1$}{a}$)．

∴k_PM•k_PN=$\frac {y$_1$-y}{x$_1$-x}$•$\frac {-y$_1$-y}{-x$_1$-x}$=$\frac {$_1$-}{$_1$-}$=$\frac {$\frac {b}{a}$(_0-$_1$)}{$_1$-}$=-$\frac {b}{a}$．

故选D．

点评：

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、斜率计算公式，属于中档题．

8单选题

已知曲线C：$\frac {x}{4}$-$\frac {y}{6}$=1的左、右顶点分别为A$_1$，A$_2$，点P在C上且直线PA$_2$斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA$_1$斜率的取值范围是（　　）

[-1，-$\frac {3}{4}$]

[-$\frac {3}{4}$，-$\frac {3}{8}$]

[-1，-$\frac {1}{2}$]

[-$\frac {3}{4}$，-$\frac {1}{2}$]

题目答案

答案解析

分析：

由曲线C：$\frac {x}{4}$-$\frac {y}{6}$=1可知k_PA$_1$•k_PA$_2$=-$\frac {$\sqrt {6}$}{2}$，利用直线PA$_2$斜率的取值范围是[-2，-1]，可得直线PA$_1$斜率的取值范围．

解答：

解：由曲线C：$\frac {x}{4}$-$\frac {y}{6}$=1可知-$\frac {b}{a}$=-$\frac {$\sqrt {6}$}{2}$，

∴k_PA$_1$•k_PA$_2$=-$\frac {$\sqrt {6}$}{2}$，

∵直线PA$_2$斜率的取值范围是[-2，-1]，

∴直线PA$_1$斜率的取值范围是[-$\frac {3}{4}$，-$\frac {1}{2}$]

故选：D．

点评：

熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．

9单选题

若双曲线x-y_=a_(a＞0)的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点．若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且β=mα(m＞1)，那么α的值是（　　）

$\frac {π}{2m-1}$

$\frac {π}{2m}$

$\frac {π}{2m+1}$

$\frac {π}{2m+2}$

题目答案

答案解析

分析：

设P(m，n)，得直线PA、PB的斜率K_PA和K_PB满足：K_PA•K_PB=$\frac {n}{m _-a}$．由点P是双曲线x-y_=a_上的点，得n_=m_-a_，整理得K_PA•K_PB=1．由斜率与倾斜角的关系，得tanα•tanβ=1，结合三角函数诱导公式，得α+β=$\frac {π}{2}$，最后根据β=mα化简整理，即可得到本题的答案．

解答：

解：∵双曲线方程为x-y_=a_，即$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{a}$=1(a＞0)

∴双曲线的左顶点为A(-a，0)，右顶点为B(a，0)

设P(m，n)，得

直线PA的斜率为K_PA=$\frac {n}{m+a}$；直线PB的斜率为K_PB=$\frac {n}{m-a}$

∴K_PA•K_PB=$\frac {n}{m _-a}$…(1)

∵P(m，n)是双曲线x-y_=a_上的点

∴m_-n_=a_，得n_=m_-a_，代入(1)式得K_PA•K_PB=1

∵直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，得tanα=K_PA，tanβ=K_PB，

∴tanα•tanβ=1，

∵P是第一象限内双曲线上的点，得α、β均为锐角

∴α+β=(m+1)α=$\frac {π}{2}$，解之得α=$\frac {π}{2m+2}$

故选：D

点评：

本题给出等轴双曲线上一点P，求P与两个顶点连线的倾斜角之间的一个关系式，着重考查了直线的斜率、三角函数公式和双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题．

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