《均值不等式中“1”的代换》均值不等式中“1”的代换

1单选题

若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（　　）

$\frac {24}{5}$

$\frac {28}{5}$

题目答案

答案解析

分析：

将x+3y=5xy转化成$\frac {3}{5x}$+$\frac {1}{5y}$=1，然后根据3x+4y=($\frac {3}{5x}$+$\frac {1}{5y}$)(3x+4y)，展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值．

解答：

解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，

∴$\frac {3}{5x}$+$\frac {1}{5y}$=1

∴3x+4y=($\frac {3}{5x}$+$\frac {1}{5y}$)(3x+4y)=$\frac {9}{5}$+$\frac {4}{5}$+$\frac {12y}{5x}$+$\frac {3x}{5y}$≥$\frac {13}{5}$+2$\sqrt {}$=5

当且仅当$\frac {12y}{5x}$=$\frac {3x}{5y}$时取等号

∴3x+4y≥5

即3x+4y的最小值是5

故选C

点评：

本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行“1”的代换，属于基础题．

2单选题

已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=$\frac {1}{a}$+$\frac {4}{b}$的最小值是（　　）

$\frac {7}{2}$

$\frac {9}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

利用题设中的等式，把y的表达式转化成($\frac {a+b}{2}$)($\frac {1}{a}$+$\frac {4}{b}$)展开后，利用基本不等式求得y的最小值．

解答：

解：∵a+b=2，

∴$\frac {a+b}{2}$=1

∴y=$\frac {1}{a}$+$\frac {4}{b}$=($\frac {a+b}{2}$)($\frac {1}{a}$+$\frac {4}{b}$)=$\frac {5}{2}$+$\frac {b}{2a}$+$\frac {2a}{b}$≥$\frac {5}{2}$+2=$\frac {9}{2}$(当且仅当b=2a时等号成立)

故选C

点评：

本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．

3单选题

设a＞0，b＞0．若$\sqrt {3}$是3_与3_的等比中项，则$\frac {1}{a}$+$\frac {1}{b}$的最小值为（　　）

$\frac {1}{4}$

题目答案

答案解析

分析：

由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入$\frac {1}{a}$+$\frac {1}{b}$中，将其变为2+$\frac {b}{a}$+$\frac {a}{b}$，利用基本不等式就可得出其最小值

解答：

解：因为3_•3_=3，所以a+b=1，

$\frac {1}{a}$+$\frac {1}{b}$=(a+b)($\frac {1}{a}$+$\frac {1}{b}$)=2+$\frac {b}{a}$+$\frac {a}{b}$≥2+2$\sqrt {}$=4，

当且仅当$\frac {b}{a}$=$\frac {a}{b}$即a=b=$\frac {1}{2}$时“=”成立，

故选择B．

点评：

本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．

4填空题

若x＞0，y＞0，且$\frac {1}{x}$+$\frac {4}{y}$=1，则x+y的最小值是．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

先将x+y乘以$\frac {1}{x}$+$\frac {4}{y}$展开，然后利用基本不等式求出最小值，注意等号成立的条件．

解答：

解：∵$\frac {1}{x}$+$\frac {4}{y}$=1

∴x+y= ($\frac {1}{x}$+$\frac {4}{y}$)(x+y)=5+$\frac {4x}{y}$+$\frac {y}{x}$≥5+2$\sqrt {}$=9

当且仅当$\frac {4x}{y}$=$\frac {y}{x}$时，取等号．

故答案为：9．

点评：

本题主要考查了利用基本不等式求最值，要注意：一正、二定、三相等，属于基础题．

5单选题

已知函数y=a_(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点，若点在一次函数y=mx+n的图象上，其中m，n＞0，则$\frac {1}{m}$+$\frac {1}{n}$的最小值为（　　）

$\sqrt {2}$

题目答案

答案解析

分析：

根据指数函数的性质，可以求出定点，把定点坐标代入一次函数y=mx+n，得出m+n=1，然后利用不等式的性质进行求解．

解答：

解：∵函数y=a_(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点，

可得定点坐标(1，1)，

∵定点在一次函数y=mx+n的图象上，

∴m+n=1，∵m，n＞0，

∴m+n=1≥2$\sqrt {mn}$，

∴mn≤$\frac {1}{4}$，∴$\frac {1}{m}$+$\frac {1}{n}$=$\frac {m+n}{mn}$=$\frac {1}{mn}$≥4(当且仅当n=m=$\frac {1}{2}$时等号成立)，

∴$\frac {1}{m}$+$\frac {1}{n}$的最小值为4，

故选A；

点评：

此题主要考查的指数函数和一次函数的性质及其应用，还考查的均值不等式的性质，把不等式和函数联系起来进行出题，是一种常见的题型

6单选题

已知x，y∈R_+，且x+y=3，则$\frac {1}{x}$+$\frac {1}{y}$的最小值为（　　）

$\frac {4}{3}$

$\frac {3}{4}$

$\frac {1}{4}$

题目答案

答案解析

分析：

利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

解答：

解：∵x，y∈R_+，且x+y=3，

∴$\frac {1}{x}$+$\frac {1}{y}$=$\frac {1}{3}$(x+y)($\frac {1}{x}$+$\frac {1}{y}$)≥$\frac {1}{3}$(2+$\frac {y}{x}$+$\frac {x}{y}$)≥$\frac {1}{3}$(2+2$\sqrt {}$)=$\frac {4}{3}$，当且仅当x=y=$\frac {3}{2}$时取等号．

因此$\frac {1}{x}$+$\frac {1}{y}$的最小值为$\frac {4}{3}$．

故选：B．

点评：

本题考查了“乘1法”和基本不等式，属于基础题．

7填空题

若a＞0，b＞0，且ln(a+b)=0，则$\frac {1}{a}$+$\frac {1}{b}$的最小值是．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

先根据ln(a+b)=0求得a+b的值，进而利用$\frac {1}{a}$+$\frac {1}{b}$=($\frac {1}{a}$+$\frac {1}{b}$)(a+b)利用均值不等式求得答案．

解答：

解：∵ln(a+b)=0，

∴a+b=1

∴$\frac {1}{a}$+$\frac {1}{b}$=($\frac {1}{a}$+$\frac {1}{b}$)(a+b)=2+$\frac {b}{a}$+$\frac {a}{b}$≥2+2=4

故答案为：4

点评：

本题主要考查了基本不等式的应用．考查了学生综合分析问题的能力和对基础知识的综合运用．

8单选题

设a，b，c∈R_，且a+b+c=1，若M=($\frac {1}{a}$-1)($\frac {1}{b}$- 1)($\frac {1}{c}$- 1)，则必有（　　）

0≤M≤$\frac {1}{8}$

$\frac {1}{8}$≤M＜1

1≤M＜8

M≥8

题目答案

答案解析

分析：

将M中$\frac {1}{a}$，$\frac {1}{b}$，$\frac {1}{c}$的分子用a+b+c表示；通分，利用基本不等式求出M的范围．

解答：

解：M=($\frac {a+b+c}{a}$-1)($\frac {a+b+c}{b}$-1)($\frac {a+b+c}{c}$-1)

=$\frac {(b+c)(a+c)(a+b)}{abc}$≥$\frac {8$\sqrt {ab}$$\sqrt {bc}$$\sqrt {ac}$}{abc}$=8．

故选D

点评：

本题考查等量代换的方法、考查利用基本不等式求函数最值需满足的条件：一正、二定、三相等．

9单选题

已知x＞0，y＞0，lg2_+lg8_=lg2，则$\frac {1}{x}$+$\frac {1}{3y}$的最小值是（　　）

2$\sqrt {2}$

2$\sqrt {3}$

题目答案

答案解析

分析：

利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出．

解答：

解：∵lg2_+lg8_=lg2，∴lg(2_•8_)=lg2，∴2_=2，∴x+3y=1．

∵x＞0，y＞0，∴$\frac {1}{x}$+$\frac {1}{3y}$=(x+3y)($\frac {1}{x}$+$\frac {1}{3y}$)=2+$\frac {3y}{x}$+$\frac {x}{3y}$≥2+2$\sqrt {}$=4，当且仅当x=3y=$\frac {1}{2}$时取等号．

故选C．

点评：

熟练掌握对数的运算法则和基本不等式的性质是解题的关键．

10单选题

设a＞1，b＞0，若a+b=2，则$\frac {1}{a-1}$+$\frac {2}{b}$的最小值为（　　）

3+2$\sqrt {2}$

4$\sqrt {2}$

2$\sqrt {2}$

题目答案

答案解析

分析：

变形利用基本不等式即可得出．

解答：

解：∵a＞1，b＞0，a+b=2，

∴a-1＞0，a-1+b=1．

∴$\frac {1}{a-1}$+$\frac {2}{b}$=(a-1+b)($\frac {1}{a-1}$+$\frac {2}{b}$)=3+$\frac {b}{a-1}$+$\frac {2(a-1)}{b}$≥3+2$\sqrt {}$=3+2$\sqrt {2}$．

当且仅当b=$\sqrt {2}$(a-1)，a+b=2，

即a=$\sqrt {2}$，b=2-$\sqrt {2}$时取等号．

∴$\frac {1}{a-1}$+$\frac {2}{b}$的最小值为3+2$\sqrt {2}$．

故选：A．

点评：

本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．

11填空题

若正数x，y满足2x+y-3=0，则$\frac {x+2y}{xy}$的最小值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由题意可知2x+y=3，所以想到把要求最小值的式子分子分母同时乘以3，把分子的3同时换成2x+y，展开后利用基本不等式可求最小值．

解答：

解：由2x+y-3=0，得2x+y=3，又∵x，y为正数，

所以$\frac {x+2y}{xy}$=$\frac {3}{3}$•$\frac {x+2y}{xy}$=$\frac {1}{3}$•$\frac {(2x+y)(x+2y)}{xy}$

=$\frac {1}{3}$•$\frac {2x+5xy+2y}{xy}$=$\frac {1}{3}$($\frac {2x}{y}$+$\frac {2y}{x}$+5)

≥$\frac {1}{3}$(2$\sqrt {}$+5)=$\frac {1}{3}$(4+5)=3．

当且仅当x=y时取等号，因为2x+y-3=0，所以此时x=y=1．

所以$\frac {x+2y}{xy}$的最小值为3．

故答案为3．

点评：

本题考查了基本不等式的应用，训练了学生灵活变形和处理问题的能力，解答此题的关键是对已知条件的灵活运用，属中档题．

12填空题

若点A(1，1)在直线mx+ny-2=0上，其中，mn＞0，则$\frac {1}{m}$+$\frac {1}{n}$的最小值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由题意可得，m+n=2且m＞0，n＞0，而$\frac {1}{m}$+$\frac {1}{n}$=($\frac {m+n}{m}$+$\frac {m+n}{n}$)×$\frac {1}{2}$=$\frac {1}{2}$(2+$\frac {n}{m}$+$\frac {m}{n}$)，利用基本不等式可求最小值

解答：

解：由题意可得，m+n=2且m＞0，n＞0

∴$\frac {1}{m}$+$\frac {1}{n}$=($\frac {m+n}{m}$+$\frac {m+n}{n}$)×$\frac {1}{2}$=$\frac {1}{2}$(2+$\frac {n}{m}$+$\frac {m}{n}$)≥$\frac {1}{2}$(2+2$\sqrt {}$)=2

当且仅当$\frac {n}{m}$=$\frac {m}{n}$即m=n=1时取等号

故答案为：2

点评：

本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是1的代换，属于基础试题

13填空题

若x＞0，y＞0，且$\frac {1}{x}$+$\frac {9}{y}$=1，则x+y的最小值是．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

x+y等于x+y乘以$\frac {1}{x}$+$\frac {9}{y}$，展开，利用基本不等式；注意等号成立的条件．

解答：

解：∵$\frac {1}{x}$+$\frac {9}{y}$=1

∴x+y= ($\frac {1}{x}$+$\frac {9}{y}$)(x+y)=10+$\frac {9x}{y}$+$\frac {y}{x}$≥10+2$\sqrt {}$=16

当且仅当$\frac {9x}{y}$=$\frac {y}{x}$时，取等号．

故答案为16．

点评：

本题考查当一个整数式子与一个分式式子在一个题中出现时，求一个式子的最值，常将两个式子乘起，展开，利用基本不等式．考查利用基本不等式求最值要注意：一正、二定、三相等．

14单选题

已知函数f(x)=|x-x|，若0＜a＜b＜1且f(a)=f(b)，则$\frac {1}{a}$+$\frac {2}{b}$的最小值为（　　）

3$\sqrt {2}$

2$\sqrt {2}$

3+2$\sqrt {2}$

2+2$\sqrt {3}$

题目答案

答案解析

分析：

作出函数f(x)=|x-x|的图象，由0＜a＜b＜1且f(a)=f(b)，可求得a+b=1，从而用基本不等式即可求得$\frac {1}{a}$+$\frac {2}{b}$的最小值．

解答：

解：∵f(x)=|x-x|=$\left\{\begin{matrix}x-x，x≥1或x≤0 \ x-x_，0＜x＜1 \ \end{matrix}\right.$，作图如下：由图可知，f(x)的对称轴为：x=$\frac {1}{2}$．

∵由0＜a＜b＜1且f(a)=f(b)，

∴a+b=1，

∴$\frac {1}{a}$+$\frac {2}{b}$=($\frac {1}{a}$+$\frac {2}{b}$)(a+b)=1+2+$\frac {b}{a}$+$\frac {2a}{b}$≥3+2$\sqrt {2}$(当且仅当b=$\sqrt {2}$a=2-$\sqrt {2}$时取“=“)．

∴$\frac {1}{a}$+$\frac {2}{b}$的最小值为3+2$\sqrt {2}$．

故选C．

点评：

本题考查带绝对值的函数，作出函数f(x)=|x-x|的图象，结合已知求得a+b=1是解本题的关键，渗透化归思想与数形结合思想，属于中档题．

15单选题

已知实数x＞0，y＞0，0＜λ＜2且x+y=3，则$\frac {1}{x}$+$\frac {2}{(2-λ)y}$+$\frac {2}{λy}$的最小值为（　　）

$\frac {3}{2}$

$\frac {8}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

由于实数x＞0，y＞0，x+y=3，可得2x+(2-λ)y+λy=6．变形为∴$\frac {1}{x}$+$\frac {2}{(2-λ)y}$+$\frac {2}{λy}$=$\frac {1}{6}$[2x+(2-λ)y+λy][$\frac {2}{2x}$+$\frac {2}{(2-λ)y}$+$\frac {2}{λy}$]，利用基本不等式的性质即可得出．

解答：

解：∵实数x＞0，y＞0，x+y=3，

∴2x+(2-λ)y+λy=6．

∴$\frac {1}{x}$+$\frac {2}{(2-λ)y}$+$\frac {2}{λy}$=$\frac {1}{6}$[2x+(2-λ)y+λy][$\frac {2}{2x}$+$\frac {2}{(2-λ)y}$+$\frac {2}{λy}$]

≥$\frac {1}{3}$•3$\sqrt {2x•(2-λ)y•λy}$•3$\sqrt {}$=3，

当且仅当2x=(2-λ)y=λy，x+y=3，即x=1，y=2，λ=1时取等号．

∴$\frac {1}{x}$+$\frac {2}{(2-λ)y}$+$\frac {2}{λy}$的最小值为3．

故选：D．

点评：

本题考查了变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

16填空题

已知x，y，z∈R_，且$\frac {1}{x}$+$\frac {2}{y}$+$\frac {3}{z}$=1，则x+$\frac {y}{2}$+$\frac {z}{3}$的最小值．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

x，y，z∈R_，且$\frac {1}{x}$+$\frac {2}{y}$+$\frac {3}{z}$=1，则x+$\frac {y}{2}$+$\frac {z}{3}$=(x+$\frac {y}{2}$+$\frac {z}{3}$) ($\frac {1}{x}$+$\frac {2}{y}$+$\frac {3}{z}$)=1+$\frac {y}{2x}$+$\frac {z}{3x}$+$\frac {2x}{y}$+1+$\frac {2z}{3y}$+$\frac {3x}{z}$+$\frac {3y}{2z}$+1．由此可知x+$\frac {y}{2}$+$\frac {z}{3}$的最小值．

解答：

解：x，y，z∈R_，且$\frac {1}{x}$+$\frac {2}{y}$+$\frac {3}{z}$=1，则x+$\frac {y}{2}$+$\frac {z}{3}$=(x+$\frac {y}{2}$+$\frac {z}{3}$) ($\frac {1}{x}$+$\frac {2}{y}$+$\frac {3}{z}$)

=1+$\frac {y}{2x}$+$\frac {z}{3x}$+$\frac {2x}{y}$+1+$\frac {2z}{3y}$+$\frac {3x}{z}$+$\frac {3y}{2z}$+1

≥3+2$\sqrt {}$+2$\sqrt {}$+2$\sqrt {}$=9．

答案：9．

点评：

本题考查不等式的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．

17填空题

设x、y、z∈R_，且x+2y+z=1，则$\frac {1}{x}$+$\frac {2}{y}$+$\frac {9}{z}$的最小值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答：

解：∵x、y、z∈R_，且x+2y+z=1，

∴$\frac {1}{x}$+$\frac {2}{y}$+$\frac {9}{z}$=(x+2y+z)($\frac {1}{x}$+$\frac {2}{y}$+$\frac {9}{z}$)=14+$\frac {2x}{y}$+$\frac {9x}{z}$+$\frac {2y}{x}$+$\frac {18y}{z}$+$\frac {z}{x}$+$\frac {2z}{y}$

≥14+2$\sqrt {}$+2$\sqrt {}$+2$\sqrt {}$=36，

当且仅当z=3x=3y=$\frac {1}{2}$时取等号．

故答案为：36．

点评：

本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．

18填空题

设a，b，c都是正数，且a+b+c=2，则$\frac {2}{a}$+$\frac {2}{b}$+$\frac {2}{c}$-6的最小值是．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

当给你的式子中出现常数的时候，可以考虑把常数替换．

解答：

解：$\frac {2}{a}$+$\frac {2}{b}$+$\frac {2}{c}$-6=($\frac {2}{a}$-2)+($\frac {2}{b}$-2)+($\frac {2}{c}$-2)

=($\frac {a+b+c}{a}$-2)+($\frac {a+b+c}{b}$-2)+($\frac {a+b+c}{c}$-2)

=($\frac {b+c}{a}$-1)+($\frac {a+c}{b}$-1)+($\frac {a+b}{c}$-1)

=$\frac {b}{a}$+$\frac {c}{a}$+$\frac {a}{b}$+$\frac {c}{b}$+$\frac {a}{c}$+$\frac {b}{c}$-3≥6-3=3

当且仅当a=b=c时，等号成立．

点评：

利用常数的替换，可以解决这类较复杂的求值问题．

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《均值不等式中“1”的代换》均值不等式中“1”的代换

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