《双曲线的标准方程》双曲线的标准方程

1单选题

双曲线方程为x-2y_=1，则它的右焦点坐标为（　　）

($\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，0)

($\frac {$\sqrt {5}$}{2}$，0)

($\frac {$\sqrt {6}$}{2}$，0)

($\sqrt {3}$，0)

题目答案

答案解析

分析：

把双曲线方程化为标准方程可分别求得a_和b_，进而根据c=$\sqrt {}$求得c，焦点坐标可得．

解答：

解：双曲线中a_=1，b_=$\frac {1}{2}$，c_=$\frac {3}{2}$，c=$\frac {$\sqrt {6}$}{2}$，

∴右焦点为($\frac {$\sqrt {6}$}{2}$，0)．

故选C

点评：

本题考查双曲线的焦点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用c_=a_+b_求出c即可得出焦点坐标．但因方程不是标准形式，很多学生会误认为b_=1或b_=2，从而得出错误结论．

2填空题

过双曲线$\frac {x}{4}$-$\frac {y}{3}$=1左焦点F的直线交双曲线的左支于M、N两点，F$_2$为其右焦点，则|MF$_2$|+|NF$_2$|-|MN|的值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

根据双曲线第一定义有|MF$_2$|-|MF|=2a，|NF$_2$|-|NF|=2a，两式相加得|MF$_2$|+|NF$_2$|-|MN|的值．

解答：

解：根据双曲线定义有|MF$_2$|-|MF|=2a，|NF$_2$|-|NF|=2a，

两式相加得|MF$_2$|+|NF$_2$|-|MN|=4a=8．

答案：8．

点评：

本题主要考查双曲线定义的灵活运用．

3单选题

若k∈R，则“k＞3”是“方程$\frac {x}{k-3}$-$\frac {y}{k+3}$=1表示双曲线”的（　　）

充分不必要条件

必要不充分条件

充要条件

既不充分也不必要条件

题目答案

答案解析

分析：

根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线k-3和k+3同号，进而求得k的范围即可判断是什么条件．

解答：

解：依题意：“方程$\frac {x}{k-3}$-$\frac {y}{k+3}$=1表示双曲线”

可知(k-3)(k+3)＞0，求得k＞3或k＜-3，

则“k＞3”是“方程$\frac {x}{k-3}$-$\frac {y}{k+3}$=1表示双曲线”的充分不必要条件．

故选A．

点评：

本题主要考查了双曲线的标准方程．解题时要注意讨论焦点在x轴和y轴两种情况．

4单选题

椭圆$\frac {x}{2m}$+$\frac {y}{n}$=1和双曲线$\frac {x}{m}$-$\frac {y}{2n}$=1有公共焦点，则椭圆的离心率是（　　）

$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

$\frac {$\sqrt {15}$}{3}$

$\frac {$\sqrt {6}$}{4}$

$\frac {$\sqrt {30}$}{6}$

题目答案

答案解析

分析：

利用椭圆与双曲线有公共焦点，建立等式，从而求出离心率．

解答：

解：由题意，m_+2n_=2m_-n_，∴m_=3n_，∴e=$\sqrt {}$=$\frac {$\sqrt {30}$}{6}$，故选D．

点评：

本题主要考查椭圆与双曲线的几何性质，关键是注意几何量关系的不同．

5单选题

双曲线x-ay_=1的焦点坐标是（　　）

($\sqrt {1+a}$，0)，(-$\sqrt {1+a}$，0)

($\sqrt {1-a}$，0)，(-$\sqrt {1-a}$，0)

(-$\sqrt {}$，0)，($\sqrt {}$，0)

题目答案

答案解析

分析：

由题意可得，双曲线的焦点在x轴上，且半焦距c=$\sqrt {}$=$\sqrt {}$，从而求得焦点坐标．

解答：

解：由题意可得焦点在x轴上，且半焦距c=$\sqrt {}$=$\sqrt {}$，故双曲线x-ay_=1的焦点坐标是

(-$\sqrt {}$，0)，($\sqrt {}$，0 )，

故选 C．

点评：

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到焦点在x轴上，且半焦距c=$\sqrt {}$，是

解题的关键．

6单选题

从双曲线$\frac {x}{3}$-$\frac {y}{5}$=1的左焦点F引圆x+y_=3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|等于（　　）

$\sqrt {3}$

$\sqrt {5}$

$\sqrt {5}$-$\sqrt {3}$

$\sqrt {5}$+$\sqrt {3}$

题目答案

答案解析

分析：

设双曲线的右焦点为F'，△PFF'中运用中位线定理得|MO|=$\frac {1}{2}$|PF'|，化简得到|MT|=$\frac {1}{2}$|PF|-|FT|，结合双曲线的定义整理得|MO|-|MT|=|FT|-a，结合题中数据算出|FT|=$\sqrt {5}$且a=$\sqrt {3}$，可得本题答案．

解答：

解：设双曲线的右焦点为F'，连结OT

∵O为FF'中点，M为PF中点，

∴MO为△PFF'的中位线，可得|MO|=$\frac {1}{2}$|PF'|，|FM|=$\frac {1}{2}$|PF|

又∵|MT|=|FM|-|FT|=$\frac {1}{2}$|PF|-|FT|，

∴|MO|-|MT|=$\frac {1}{2}$(|PF'|-|PF|)+|FT|=|FT|-a，

∵a=$\sqrt {3}$，|FT|=$\sqrt {}$=$\sqrt {5}$，

∴|MO|-|MT|=$\sqrt {5}$-$\sqrt {3}$．

故选：C

点评：

本题给出双曲线上点P，P与左焦点连线PF与已知圆相切，求的|MO|-|MT|值．着重考查了三角形中位线定理、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．

7单选题

双曲线C：$\frac {x}{5}$-$\frac {y}{4}$=1的焦点为椭圆$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1的焦点且椭圆的短轴长为2$\sqrt {3}$，则该椭圆的标准方程为（　　）

$\frac {x}{4}$+$\frac {y}{3}$=1

$\frac {x}{9}$+$\frac {y}{3}$=1

$\frac {x}{12}$+$\frac {y}{9}$=1

$\frac {x}{12}$+$\frac {y}{3}$=1

题目答案

答案解析

分析：

求出双曲线C：$\frac {x}{5}$-$\frac {y}{4}$=1的焦点，可得椭圆$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1的焦点，根据椭圆的短轴长为2$\sqrt {3}$，求出a，b的值，即可求椭圆的标准方程．

解答：

解：双曲线C：$\frac {x}{5}$-$\frac {y}{4}$=1的焦点坐标为(±3，0)．

∵双曲线C：$\frac {x}{5}$-$\frac {y}{4}$=1的焦点为椭圆$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1的焦点，

∴a_-b_=9

∵椭圆的短轴长为2$\sqrt {3}$，

∴b=$\sqrt {3}$，

∴a_=12，

∴椭圆的标准方程为$\frac {x}{12}$+$\frac {y}{3}$=1．

故选D．

点评：

本题考查椭圆的标准方程，考查双曲线、椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．

8填空题

F$_1$、F$_2$是双曲线$\frac {x}{4}$-$\frac {y}{3}$=1的两个焦点，过点F$_2$作x轴的垂线交双曲线于A、B两点，则△F$_1$AB的周长为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

确定双曲线的几何量，利用双曲线的定义，可得△F$_1$AB的周长值．

解答：

解：由于双曲线的方程为$\frac {x}{4}$-$\frac {y}{3}$=1，则a_=4，b_=3，

则a=2，c_=a_+b_=7

由于F$_2$是双曲线$\frac {x}{4}$-$\frac {y}{3}$=1的焦点，则F$_2$是(-$\sqrt {7}$，0)

若设A($\sqrt {7}$，y)，则$\frac {($\sqrt {7}$)}{4}$-$\frac {y}{3}$=1，解得y=$\frac {3}{2}$，

故|AB|=2×$\frac {3}{2}$=3．

根据双曲线的定义，可知△F$_1$AB的周长为

|F$_1$A|+|F$_1$B|+|AB|=|F$_1$A|-|F$_2$A|+|F$_1$B|-|F$_2$B|+2|AB|=4a+6=14．

故答案为：14

点评：

本题考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．

9单选题

方程$\frac {x}{2-m}$+$\frac {y}{|m|-3}$=1表示双曲线，则m的取值范围是（　　）

m＜3

-3＜m＜3

m＞3或-3＜m＜2

m＞2或-3＜m＜3

题目答案

答案解析

分析：

利用双曲线的标准方程可得到(2-m)(|m|-3)＜0，解之即可．

解答：

解：依题意得，(2-m)(|m|-3)＜0，

∴若m＞0，解得m＜2或m＞3，

∴0＜m＜2或m＞3；

若m＜0，解得-3＜m＜2，

∴-3＜m＜0；

若m=0，亦可．

综上所述，-3＜m＜2或m＞3

故选C．

点评：

本题考查双曲线的标准方程的应用，考查解不等式组，去绝对值符号是难点，考查分类讨论思想，属于中档题．

10单选题

与椭圆$\frac {x}{10}$+$\frac {y}{5}$=1有相同的焦点，且经过点(2，2$\sqrt {3}$)的双曲线的标准方程是（　　）

y-$\frac {x}{4}$=1

$\frac {x}{4}$-y_=1

$\frac {y}{4}$-x_=1

x-$\frac {y}{4}$=1

题目答案

答案解析

分析：

利用椭圆的三个参数的关系求出椭圆的焦点坐标，设出双曲线的方程，将已知点的坐标代入双曲线方程得到双曲线的三个参数的一个关系，再利用双曲线本身具有的关系，求出a，b，c的值，即得到双曲线的方程．

解答：

解：设双曲线的方程为$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1

∵$\frac {x}{10}$+$\frac {y}{5}$=1的焦点坐标为(±$\sqrt {5}$，0)

∴双曲线中的c_=5①

∵双曲线过点(2，2$\sqrt {3}$)

∴$\frac {4}{a}$-$\frac {12}{b}$=1②

∵c_=a_+b_③

解①②③得a_=1，b_=4

∴双曲线的方程为x-$\frac {y}{4}$=1

故选D

点评：

求圆锥曲线的方程一般利用待定系数法，要注意圆锥曲线中的三个参数关系的区别，双曲线中有c_=a_+b_而椭圆中有a_=c_+b_

11单选题

若$\frac {x}{1+m}$+$\frac {y}{1-m}$=1表示双曲线，则m的取值范围是( )

[-1，1]

[-2，2]

(-∞，-2)∪(2，+∞)

(-∞，-1)∪(1，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

曲线表示双曲线，则分母异号，由此可得不等式，从而可确定m的取值范围．

解答：

解：由题意，∵$\frac {x}{1+m}$+$\frac {y}{1-m}$=1表示双曲线，

∴(1+m)(1-m)＜0

∴m＜-1或m＞1

∴m的取值范围是(-∞，-1)∪(1，+∞)

故答案为：D．

点评：

本题考查双曲线的标准方程，考查解不等式，属于基础题．

12单选题

“mn＜0”是“方程mx+ny_=1表示焦点在y轴上的双曲线”的（　　）

充分而不必要条件

必要而不充分条件

充分必要条件

既不充分也不必要条件

题目答案

答案解析

分析：

根据充分必要条件的定义进行判断：若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p是q的充分必要条件．

解答：

解：(1)mn＜0⇔m＞0，n＜0或m＜0，n＞0．

若m＞0，n＜0，则方程mx+ny_=1表示焦点在x轴上的双曲线；

若m＜0，n＞0，则方程mx+ny_=1表示焦点在y轴上的双曲线；

所以由mn＜0不能推出方程mx+ny_=1表示焦点在y轴上的双曲线，即不充分．

(2)若方程mx+ny_=1表示焦点在y轴上的双曲线，则m＜0，n＞0，所以mn＜0，即必要．

综上，“mn＜0”是“方程mx+ny_=1表示焦点在y轴上的双曲线”的必要不充分条件．

故选B．

点评：

本题考查双曲线的方程形式与充分必要条件的判断，关键在于掌握二元二次方程mx+ny_=1表示双曲线的条件．

13单选题

双曲线$\frac {x}{m_+12}$-$\frac {y}{4-m}$=1的焦距是（　　）

2$\sqrt {2}$

与m有关

题目答案

答案解析

分析：

由双曲线的方程可先根据公式c_=a_+b_求出c的值，进而可求焦距2c

解答：

解：由题意可得，c_=a_+b_=m_+12+4-m_=16

∴c=4 焦距2c=8

故选C

点评：

本题主要考查了双曲线的定义的应用，解题的关键熟练掌握基本结论：c_=a_+b_，属于基础试题

14单选题

已知p：5＜m＜8，q：方程$\frac {x}{m-2}$+$\frac {y}{5-m}$=1表示双曲线，则p是q的（　　）

充分不必要条件

必要不充分条件

充要条件

既不充分也不必要条件

题目答案

答案解析

分析：

本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断

解答：

解：∵q：方程$\frac {x}{m-2}$+$\frac {y}{5-m}$=1表示双曲线

∴(m-2)(5-m)＜0，

∴m＞5或m＜2．

又∵p：5＜m＜8

∵p⇒q，

故p是q的充分条件；反过来不成立

∴则p是q的充分不必要条件

故选A

点评：

判断充要条件的方法是：

①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；

④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．

⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

15单选题

双曲线$\frac {x}{3}^{2}$-y²=1的焦点坐标是（　　）

(±$\sqrt {2}$，0)

(0，±$\sqrt {2}$)

(±2，0)

(0，±2)

题目答案

答案解析

分析：

根据双曲线方程，可得该双曲线的焦点在x轴上，由平方关系算出c=$\sqrt {}$=2，即可得到双曲线的焦点坐标．

解答：

解：∵双曲线方程为$\frac {x}{3}^{2}$-y²=1∴双曲线的焦点在x轴上，且a²=3，b²=1由此可得c=2，∴该双曲线的焦点坐标为(±2，0)故选：C

点评：

本题给出双曲线方程，求它的焦点坐标，着重考查了双曲线的标准方程和焦点坐标求法等知识，属于基础题．

16单选题

与椭圆$\frac {x}{4}$+y_=1共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是（　　）

$\frac {x}{4}$-y_=1

$\frac {x}{2}$-y_=1

$\frac {x}{3}$-$\frac {y}{3}$=1

x-$\frac {y}{2}$=1

题目答案

答案解析

分析：

先根据椭圆的标准方程，求得焦点坐标，进而求得双曲线离心率，根据点P在双曲线上，根据定义求出a，从而求出b，则双曲线方程可得．

解答：

解：由题设知：焦点为(±$\sqrt {3}$ ， 0 ) ， 2a=$\sqrt {}$-$\sqrt {}$=2$\sqrt {2}$

a=$\sqrt {2}$，c=$\sqrt {3}$，b=1

∴与椭圆$\frac {x}{4}$+y_=1共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是$\frac {x}{2}$-y_=1

故选B．

点评：

本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生对双曲线和椭圆基本知识的掌握．

17单选题

若k∈R，则“k≤-5”是“方程$\frac {x}{k-4}$-$\frac {y}{k+4}$=1表示双曲线”的（　　）

充分不必要条件

必要不充分条件

充要条件

既不充分也不必要条件

题目答案

答案解析

分析：

先求出方程$\frac {x}{k-4}$-$\frac {y}{k+4}$=1表示双曲线时k的取值范围，然后根据若p⇒q与q⇒p的真假命题，进行判定即可．

解答：

解：∵方程$\frac {x}{k-4}$-$\frac {y}{k+4}$=1表示双曲线

∴(k-4)(k+4)＞0解得：k＞4或k＜-4

∵k≤-5⇒k＞4或k＜-4是真命题，反之是假命题

∴p是q的充分非必要条件

故选A

点评：

本题主要考查了双曲线的标准方程以及充要条件的判定，判断充要条件的方法是：判断命题p与命题q所表示的范围大小，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

18填空题

双曲线8kx-ky_=8的一个焦点为(0，3)，则k的值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

-1

答案解析

分析：

先把双曲线8kx-ky_=8的方程化为标准形式，焦点坐标得到c_=9，利用双曲线的标准方程中a，b，c的关系即得双曲线方程中的k的值．

解答：

解：根据题意可知双曲线8kx-ky_=8在y轴上，

即 $\frac {y}{-$\frac {8}{k}$}$-$\frac {x}{-$\frac {1}{k}$}$=1，

∵焦点坐标为(0，3)，c_=9，

∴-$\frac {8}{k}$-$\frac {1}{k}$=9，∴k=-1，

故答案为：-1．

点评：

本题考查双曲线的标准方程以及双曲线的简单性质的应用，注意化成双曲线的标准方程中a，b，c的关系．

19单选题

已知双曲线的方程为$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F$_2$，|AB|=m，F$_1$为另一焦点，则△ABF$_1$的周长为（　　）

2a+2m

a+m

4a+2m

2a+4m

题目答案

答案解析

分析：

利用双曲线的定义可得|AF$_1$|-|AF$_2$|=2a，|BF$_1$|-|BF$_2$|=2a，进而得到其周长．

解答：

解：∵|AF$_1$|-|AF$_2$|=2a，|BF$_1$|-|BF$_2$|=2a，

又|AF$_2$|+|BF$_2$|=|AB|=m，

∴|AF$_1$|+|BF$_1$|=4a+m，

∴△ABF$_1$的周长=|AF$_1$|+|BF$_1$|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m．

故选C．

点评：

熟练掌握双曲线的定义是解题的关键．

20单选题

已知F$_1$，F$_2$是双曲线$\frac {x}{25}$-$\frac {y}{24}$=1的左、右焦点，直线l过F$_1$与左支交与P、Q两点，直线l的倾斜角为α，则|PF$_2$|+|QF$_2$|-|PQ|的值为（　　）

8$\sqrt {6}$

随α大小而改变

题目答案

答案解析

分析：

由双曲线的定义可得：|PF$_2$|-|PF$_1$|=2a，|QF$_2$|-|QF$_1$|=2a，进而得出．

解答：

解：由双曲线的定义可得：|PF$_2$|-|PF$_1$|=2a，|QF$_2$|-|QF$_1$|=2a，

∴|PF$_2$|+|QF$_2$|-|PQ|=|PF$_2$|-|PF$_1$|+|QF$_2$|-|QF$_1$|=4a=20，

故选C．

点评：

本题查克拉双曲线的定义，属于基础题．

21单选题

双曲线8kx-ky_=8的一个焦点是(0，3)，那么k的值是（　　）

-1

-$\frac {$\sqrt {65}$}{3}$

$\frac {$\sqrt {65}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

把双曲线8kx-ky_=8的方程化为标准方程 $\frac {y}{-$\frac {8}{k}$}$-$\frac {x}{-$\frac {1}{k}$}$=1，可得9=$\frac {8}{-k}$+$\frac {1}{-k}$，解方程求得实数k的值．

解答：

解：根据题意可知双曲线8kx-ky_=8在y轴上，

把双曲线8kx-ky_=8的方程化为标准方程 $\frac {y}{-$\frac {8}{k}$}$-$\frac {x}{-$\frac {1}{k}$}$=1，

∴9=$\frac {8}{-k}$+$\frac {1}{-k}$，

∴k=-1，

故选A．

点评：

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

22单选题

“1＜k＜7”是“方程$\frac {x}{k-2}$+$\frac {y}{k-6}$=1表示双曲线”的（　　）

充分不必要条件

必要不充分条件

既不充分也不必要条件

充要条件

题目答案

答案解析

分析：

根据双曲线的标准方程对充分性与必要性分别加以论证，可得：当1＜k＜7成立时，方程不一定能表示双曲线；反之，若方程表示双曲线，建立关于k的不等式并解之得2＜k＜6，必定有1＜k＜7成立．由此可得本题答案．

解答：

解：①先看充分性，

若1＜k＜7，则当k=$\frac {3}{2}$时，方程为$\frac {x}{-$\frac {1}{2}$}$+$\frac {y}{-$\frac {9}{2}$}$=1，不能表示双曲线，

因此充分性不能成立；

②再看必要性，若方程$\frac {x}{k-2}$+$\frac {y}{k-6}$=1表示双曲线，则(k-2)•(k-6)＜0，

解得2＜k＜6，必定有1＜k＜7成立，因此可得必要性成立．

综上所述，“1＜k＜7”是“方程$\frac {x}{k-2}$+$\frac {y}{k-6}$=1表示双曲线”的必要不充分条件．

故选：B．

点评：

本题给出含有参数k的二次曲线方程，判断方程表示双曲线的充要条件．着重考查了双曲线的标准方程与充要条件的判定等知识，属于中档题．

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