《正态分布》正态分布 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《正态分布》正态分布

1填空题

若随机变量X～N(μ，σ_)，则P(X≤μ)=．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {1}{2}$

答案解析

分析：

由正态分布的图象规律知，其在x=μ左侧一半的概率为$\frac {1}{2}$，故得P(ζ≤μ)的值．

解答：

解：∵ζ服从正态分布N(μ，σ_)，

根据正态密度曲线的对称性可得

∴曲线关于x=μ对称，P(X≤μ)=$\frac {1}{2}$

选填：$\frac {1}{2}$．

点评：

本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．

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2单选题

已知随机变量ζ服从正态分布N(3，σ_)，则P(ζ＜3)=（　　）

A
$\frac {1}{5}$
B
$\frac {1}{4}$
C
$\frac {1}{3}$
D
$\frac {1}{2}$

题目答案

D

答案解析

分析：

由正态分布的图象规律知，其在x=μ左侧一半的概率为$\frac {1}{2}$，故得P(ζ＜3)的值．

解答：

解：ζ服从正态分布N(3，σ_)，曲线关于x=3对称，P(ζ＜3)=$\frac {1}{2}$，

故选D．

点评：

本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．

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3单选题

如果随机变量ξ～N(0，σ_)且P(-2＜ξ≤0)=0.4，则P(ξ＞2)等于（　　）

A
0.1
B
0.2
C
0.3
D
0.4

题目答案

A

答案解析

分析：

本题考查正态分布曲线的性质，随机变量ξ服从正态分布N(0，σ_)，由此知曲线的对称轴为y轴，P(-2≤ξ≤2)=2P(-2＜ξ≤0)，又P(ξ＞2)=$\frac {1}{2}$[1-P(-2≤ξ≤2)]，再由P(-2＜ξ≤0)=0.4，可得答案．

解答：

解：∵随机变量ξ服从正态分布N(0，σ_)且P(-2≤ξ≤0)=0.4，

∴P(-2≤ξ≤2)=0.8

∴P(ξ＞2)=$\frac {1}{2}$[1-P(-2≤ξ≤2)]=$\frac {1}{2}$[1-0.8]=0.1．

故选A．

点评：

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，解题的关键是理解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，由曲线的对称性求出概率，本题是一个数形结合的题．

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4单选题

某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a_)，(a＞0试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的$\frac {3}{5}$，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（　　）

A
200
B
300
C
400
D
600

题目答案

A

答案解析

分析：

先根据正态分布曲线的图象特征，关注其对称性画出函数的图象，观察图象在70分到110分之间的人数概率，即可得成绩不低于110分的学生人数概率，最后即可求得成绩不低于110分的学生数．

解答：

解：∵成绩ξ～N(90，a_)，

∴其正态曲线关于直线x=90对称，

又∵成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的 $\frac {3}{5}$，

由对称性知：

成绩在110分以上的人数约为总人数的 $\frac {1}{2}$(1-$\frac {3}{5}$)=$\frac {1}{5}$，

∴此次数学考试成绩不低于110分的学生约有：

$\frac {1}{5}$×1000=200．

故选A．

点评：

本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．正态分布是概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布．该分布由两个参数--平均值和方差决定．概率密度函数曲线以均值为对称中线，方差越小，分布越集中在均值附近．

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5单选题

设随机变量ξ-N(μ，_)，且当二次方程x-2x+ξ=0无实根时，ξ的取值概率为0.5，则μ=（　　）

A
1
B
0.5
C
0
D
2

题目答案

A

答案解析

分析：

根据题中条件：“x-2x+ξ=0无实根”得△＜0，再结合正态分布的图象规律即可求得μ的值．

解答：

解：∵x-2x+ξ=0无实根，

∴得△＜0．(-2)_-4ξ＜0，

∴ξ＞1，

结合正态分布的图象，

它在x＞μ时的概率为$\frac {1}{2}$，故μ=1．

故选A．

点评：

本题主要考查正态分布的规律，正态分布涉及到连续型随机变量的分布密度，是概率统计中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布．

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6填空题

如果随机变量ξ～N(-1，σ_)，且P(-3≤ξ≤-1)=0.4，则P(ξ≥1)=．

填空题答案仅供参考

题目答案

0.1

答案解析

分析：

利用ξ～N(-1，σ_)，可得图象关于x=-1对称，结合P(-3≤ξ≤-1)=0.4，即可求得结论．

解答：

解：∵ξ～N(-1，σ_)，∴图象关于x=-1对称

∵P(-3≤ξ≤-1)=0.4，

∴P(-1≤ξ≤1)=0.4，

∴P(ξ≥1)=0.5-0.4=0.1

故答案为：0.1

点评：

本题考查正态分布曲线的对称性，考查学生的计算能力，属于基础题．

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7填空题

已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，P(x≤2)=0.72，则P(x≤0)=．

填空题答案仅供参考

题目答案

0.28

答案解析

分析：

随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到小于等于0的概率和大于等于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．

解答：

解：随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，∴曲线关于x=1对称，∴P(x≤0)=P(x≥2)=1-P(x≤2)=0.28故答案为：0.28．

点评：

本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．

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8单选题

设两个正态分布N(μ$_1$，$_1$)(σ$_1$＞0)和N(μ$_2$，$_2$)(σ$_2$＞0)的密度曲线如图所示，则有(　　)

A
μ$_1$＜μ$_2$，σ$_1$＜σ$_2$
B
μ$_1$＜μ$_2$，σ$_1$＞σ$_2$
C
μ$_1$＞μ$_2$，σ$_1$＜σ$_2$
D
μ$_1$＞μ$_2$，σ$_1$＞σ$_2$

题目答案

A

答案解析

分析：

从正态曲线关于直线x=μ对称，看μ的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，由此可得结论．

解答：

解：从正态曲线的对称轴的位置看，显然μ$_1$＜μ$_2$，

正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小，

∴σ$_1$＜σ$_2$

故选A．

点评：

本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及数形结合的思想，属于基础题．

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9单选题

设X～N(μ，O_)，当x在(1，3]内取值的概率与在(5，7]内取值的概率相等时，μ=（　　）

A
1
B
2
C
3
D
4

题目答案

D

答案解析

分析：

根据题中条件：“x在(1，3]内取值的概率与在(5，7]内取值的概率相等”得正态分布的图象关于直线x=4对称，再结合正态分布的图象规律即可求得μ的值．

解答：

解：∵x在(1，3]内取值的概率与在(5，7]内取值的概率相等，

∴得正态分布的图象关于直线x=4对称，结合正态分布的图象，故μ=4．

故选D．

点评：

本题主要考查正态分布的规律，正态分布涉及到连续型随机变量的分布密度，是概率统计中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布．

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10填空题

在某项测量中，测量的结果ξ 服从正态分布N(a，σ2)(a＞0，σ＞0)，若ξ 在(0，a)内取值的概率为0.3，则ξ 在(0，2a)内取值的概率为．

填空题答案仅供参考

题目答案

0.6

答案解析

分析：

根据ξ服从正态分布N(a，σ2)，得到正态分布图象的对称轴为x=a，根据在(0，a)内取值的概率为0.3，根据根据随机变量ξ在(a，2a)内取值的概率与ξ在(0，a)内取值的概率相同，得到随机变量ξ在(0，2a)内取值的概率．

解答：

解：∵测量结果ξ服从正态分布N(a，σ2)，∴正态分布图象的对称轴为x=a，在(0，a)内取值的概率为0.3，∴随机变量ξ在(a，2a)内取值的概率与ξ在(0，a)内取值的概率相同，也为0.3，∴随机变量ξ在(0，2a)内取值的概率为0.6．故答案为：0.6．

点评：

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，解决本题的关键是正态曲线的对称性，即关于x=a对称，这是解题的主要依据．

纠错重做

11单选题

若随机变量X～N(μ，σ_)，则关于正态曲线性质的叙述正确的是（　　）

A
σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”
B
σ越大，曲线越“高瘦”；σ越小，曲线越“矮胖”
C
σ的大小与曲线的“高瘦”、“矮胖”无关
D
曲线的“高瘦”、“矮胖”受μ的影响较大

题目答案

A

答案解析

分析：

利用正态曲线的性质，可得结论．

解答：

解：正态分布N(μ，σ_)曲线中，μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，表示取值越集中．

故选：A．

点评：

本题考查正态曲线的性质，本题解题的关键是理解并且记忆正态曲线的性质，并且能够简单的应用性质，本题是一个基础题．

纠错重做

12单选题

设随机变量ξ服从正态分布N(3，16)，若η=2ξ+1，则E(η)=（　　）

A
33
B
16
C
7
D
3

题目答案

C

答案解析

分析：

根据正态分布的定义，结合期望的性质，进行求解．

解答：

∵随机变量ξ服从正态分布N(3，16)，∴E(ξ)=3，又∵η=2ξ+1，∴E(η)=2E(ξ)+1=7．故选C．

点评：

本题考查正态分布的定义．

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